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Sitzungsberichte : Mathematisch-physikalische Sektion. 
m 2 -\-2i — A, II) die Summen -j- m 2 -j- i -4 A -}- 1 und m 2 -f- 2i — A — I aus den 
Zahlen a zu erzeugen. Sei nun m 2 -f- 2i — h = h i -f- 2A 2 -f- 3A a , so ist mj -|- m 2 -f- £ -j- A 
= (wij — Aj) — {— 2 (w 2 — A 2 ) -|— 3 (i — hß) ; sei ferner w 2 “j - 2 i — A — 1 — -|— 2 i 2 -|- 3 iß, so 
ist + m 2 -f- t -J- A -j- 1 = (mi — -f- 2 («? 2 + is) + 3 (i — i 3 ), in beiden Fällen aber 
die Gesamtzahl der Summanden mpl- m 2 -f~ i- Ger Wert von *}./ wird: 
\A ) 
(-D 
( wi\ “I - wi 2 - )— i — h\ — A 2 — A3) ! ( h\ “I - A 2 — Ag — 1 ) ! ( A 2 — J— A3) 
L(wh-A 1 )l (m 2 — Ä*)! (i— Ag)! A, ! A 2 ! ÄJ 
(mi -f- m 2 -|- i — fi — • — is — D • (ij -|- f 2 ~j~ ^ • ( w 2 — i 2 -f- i — i 3 ) 
(“»»! — ii>! (w 2 — i 2 ) ! (i — i 3 )! ii* i 2 ! i 3 ! 
Die erste dieser Summen ist über alle verschiedenen Zusammenstellungen von 
A t , A 2 , A 3 , die zweite über die verschiedenen Gruppen £ 1? i 2 , f 3 zu erstrecken, die so be- 
schaffen sind, daß A 2 - J- 2 A 2 — j - 3 A3 = wi 2 ~j~ 2 f — A und — j— 2 i 2 — j— 3 ig = yyi^ “I - 2 f — A - — 1 
wird, wobei jedoch jedes Glied verschwindet, für welches einer der Werte m x — Aj 
m 2 — A a ,i — A 3 , mi — ii, m 2 — f 2 , f — i 3 negativ ist. Für 0! wird stets 1 gesetzt. 
d) Beweis von Warings Formel für Potenzsummen T^. Ist /x allein oberer 
Index bei *, so verschwindet jedes derartige x, bei dem mehr als ein unterer Index 
größer ist als 1. Ist die untere Indexreihe (P) = { u — A — (— 1 , 1^ 1 , so hat dieses* den 
Wert ( — 1)^ 1 . Das zugehörige Cm in (7) hat als untere Indexreihe P und 
kann auf Grund von (6) und (11) nach den K entwickelt werden. Da [m^ -j- [m 2 j 
[m M ] = 1 . mi -j- 2 . m 2 -j- . . . [x . m a — [x ist, so wird : 
< 16 > p 
l Z . C x yt-l = 
1 L 
l) W! +‘ a 
(m — • 1) ! fx 
m 1 ! m 2 ! . . . m u ! 
c 2 
m 2 
m [X 
u 
wo die zweite »Summe über alle verschiedenen Zerlegungen der Zahl fx in ganze positive 
Summanden auszudehnen ist, so daß m\ . m ^ = m und 1 . -j- 2 . m 2 
+'• ..[x.ntp = fx ist. 
Auf (7) ist also immer zurückzugehen. Die Formel gewährt eine gute Übersicht 
über das Resultat und man kann die Zahlenfaktoren nach durchsichtigem Verfahren 
einzeln und unabhängig von einander ermitteln, auch mannigfach kontrollieren. Darin 
liegen wesentliche Vorzüge des Verfahrens durch Determinanten vor allen sonst be- 
kannten Methoden. 
6. Neue Wege zur Nachprüfung oder auch zur Berechnung der Zahlen * öffnen 
sich, wenn wir die Zahlen in Betracht ziehen, die bei der Entwickelung der Determi- 
nanten C nach den T auf treten. 1 ) Sei der Zahlehf aktor , der T( a y in der 
Entwickelung von Cm nach den T erhält; dann ist: 
(16) 
n y T ( K ) 
. <ü.: 
(17) 
K, , = 2 rfe' . 
(«) a) (>■ ) 
(18) 
K, ,= 2(2 T 
() 0»)\W 
(«V 
(«) 2»' 
(P) * t (A) 
(ßY 
1) Vgl. Ber. sowie J. 93 und 132. Dort finden sich alle Beweise, die hier fehlen. 
