Kostka: Zur Grundaufgabe der symmetrischen Funktionen. 
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Die Summen können über alle verschiedenen Zerlegungen der Zahl /j, in positive 
Summanden ausgedehnt werden; doch sind z. B. in (16) alle t = 0, bei denen («) in 
der Nebduordnung hinter (A') steht. Wird nach (7) entwickelt, dann aber jedes 
C(i') wieder nach (16), so muß das Ergebnis sein. Daher die Formel; 
(19) Z zfl . — 0, wenn (a) =}= (/?), aber — 1 für («) = (ß). 
(A) M { r ) 
Ähnlich andere Formeln, die hier übergangen werden. Kennt man also die t, 
so kann man nach (19) die * kontrollieren oder berechnen. 
Die t zeigen mancherlei Verwandtschaft mit den figurierten Zahlen. Z. B. ist: 
( 20 ) 
(21) 
(«) 
(m — 1)! 
fm — 1 \ 
A, p <Z. — 1)! (m-A)! 
Sind zwei untere fndizes größer als 1, so spielt außer ni noch m\ eine Bolle. Ist 
l mi , 2 ,,,a , . . . fm — 1 \ 
A, h, V-0 - 1 h - 1/ ’ 
so geht diese Zahl für = 1 in (^ j) und für m = A 0 in ( m ^ ^ ^) über. 
Für die dureh (21) bestimmte Funktion von vier Zahlen' findet man u. a. folgende Eigen- 
schaften : 
(21 a ) 
(21b) 
(21 c) 
(21 d) 
(21 e) 
(21 f) 
/ m mf\ 
Mo h) 
f m 0\ 
Mo h) 
( 
Xq . — Aj— [— 1 ^ / m\ 
h==/ -i f mA fm -\- 1 — mf\ f m — h\ 
h—i) \ h ) \ X x — h ) \A 0 -j-l/ 
(Aq — - Xi -j— 1) . m ! {m -j- 1) i 
(A 0 -t-l)! Aj! (m — A 0 ) ! (m + l-Aj)! 
m (Aq — Aj — j — 1) . {m— j — 1 ) ! 
0. 
(Ao+1)! A,! (m — A 0 — A x — 1)! (m-A 0 ).(m + 1— AJ 
fm mA fm m!+l\ / m — 1 m\ \ 
\A 0 X 1 ) \A 0 / \A 0 1 A x 1/ 
fm »iA / m-1 m r 1\ fm— 1 m ^ — 1\ fm — 1 m \ — 1\ 
\X 0 X J = \ A 0 Ai J + Va 0 -1 X 1 J + V A 0 X t — 1/ ’ 
( m wA fm mA /m\ fm mA fm—m{\ f0 0\ fO 0\ 
Ao ^ A 0 / \A 0 0/ \A 0 / \m X 1 / \ X 1 / \0 0/ yAflAj/ 
Durch wiederholte Anwendung von (21 d ) findet man z. B. : 
/16 14\ /16 17\ /15 16\ /14 15\ /13 14\ 
(u 3 )|(h 3 ) + H 13 2 ) + 3 -(i 2 i) + (n o> 
Die beiden ersten Glieder sind 0, weil die Dimension der unteren Reihe höher 
ist als die der oberen; das dritte wird =270 nach (21 c ), das vierte = 78 nach (21 f ). 
Alle diese Sätze lassen sich erweitern und jedes r ist ohne Schwierigkeit auszuwerten. 
Aus den allgemeinen Formeln sei noch erwähnt (Beweis vgl. (13): 
( 22 ) 
r «o> • • «W-i 
Aq> • • A r — i 
An— 1’ 
K— 2’ 
• r — «o 
. m — Aß 
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