1899 - 1900 .] Dr Muir on the Theory of Alternants. 
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etant aussi en nornbre egal a \n{n- 1), la somine des exposans 
des lettres a v a 2 , ... ., a n dans chaque terme du developpe- 
ment de ce produit sera encore egale a ce nombre ; par suite, 
le quotient qu’on obtiendra, en divisant la fonction symetrique 
alternee par le produit, sera une quantite constante. Soit c 
la quantite dont il s’agit, on aura 
S (±<¥¥*3 •••.•.«» ) = cA - 
Pour determiner c on observera que le terme 
012 n- 1 
<* 1 * 2 % ‘ * « * <*» 
a pour coefficient l’unite dans la fonction donn^e et dans le 
produit A ; on doit done avoir c= 1.” 
Before proceeding to the next case he recalls the fact that 
the product or quotient of two alternating functions of order 
n is a symmetric function of the same order , 
and is thus enabled to amplify one of the preceding propositions 
by affirming that 
the result of dividing s( ± a[a\ . . . c/ ) by s( ± . . . a n 
is a symmetric function of oq, a 2 , . . . ., a n . 
(2) In the case of Sf ± a^ . . . a n l a n J the quotient is found 
to be aj + a 2 + . . . +a n . 
For the quotient “sera necessairement du premier degre par 
rapport aux quantites a v a 2 , . . a n : et comme elle doit etre 
sym6trique et permanente par rapport a ces quantites, on sera 
oblige de supposer egale a 
c(«! + a 2 + . . . +a n ) = cS w (cq), 
c etant une constante qui ne peut differer ici de runite.” 
(3) In the case of s( ± af\ . . . cQ the quotient is, of course, 
found to be a Y a 2 . . . an. 
The memoir closes with the conditions for the identity of two 
alternating functions, these being stated to be (1) that all the 
terms of the first function be contained in the second ; (2) that 
the terms have the same numerical coefficients in both ; (3) that 
one of the terms of the first has the same sign as the correspond- 
ing term of the second. 
VOL. XXIII. 
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