188 Proceedings of Royal Society of Edinburgh. [sess. 
“ soit 12 le determinant gauche dont il s’agit, cette fonction 
peut etre presentee sous la forme 
12 = 12 0 + S2 1 A, 1>1 + 122^2,2 + • • • + 12 12 X n A22 + • • • 
ou 12 0 est ce que devient 12 si A. n , A 22 , . . • sont reduits a 
zero, 12 x est ce que devient le coefficient de An sous la meme 
condition, et ainsi de suite; c’est a dire, 12 0 est le deter- 
minant forme par les quantites X r>s en supposant que ces 
quantites satisfassent aux conditions (2) et en donnant a r,s 
les valeurs 1, 2, 3, . . . , n ; 12 x est le determinant forme 
pareillement en donnant a r,s les valeurs 2, 3, . . . , n ; 12 2 
s’obtient en donnant a r } s les valeurs 1, 3, . . , n ; et 
ainsi de suite ; cela est aise de voir si l’on range les quantites 
A ri . en forme de carre.” 
At this point a digression is made in order to establish a theorem 
regarding skew determinants of odd order, and another regarding 
skew determinants of even order, and thus be enabled to make 
certain substitutions for the 12’s in the development here announced. 
Further, as the said substitutions for the 12’s of even order involve 
the functions dealt with by Jacobi in his paper on the “ Pfaffsche 
Methode,” — functions which Cayley here calls “les fonctions de 
M. Jacobi,” but which at a later date he designated “ Pfaffians ” — 
the digression is lengthened by having prefixed to it an account of 
these functions. 
So curious is this account and so likely to be misrepresented by 
condensation, that the best way of treating it is to reproduce it in 
the original words.* It stands thus : — 
“On obtient ces fonctions (dont je reprends ici la theorie) par 
les proprietes g^ndrales d’un determinant defini. Car en 
exprimant par (1, 2, . . . , n) une fonction quelconque dans 
laquelle entrent les nombres symboliques 1 , 2, . . . , n, et 
par ± le signe correspondant a une permutation quelconque 
de ces nombres, la fonction 
2 ±(1 2 . . . n) 
oil 2i clesigne la somme de tons les termes qu’on obtient en 
* The paper, as it appears in Crelle’s Journal , is disfigured by misprints, 
which have not been fully corrected in the Collected Math. Papers. 
