1899 - 1900 .] Dr Muir on the Theory of Skew Determinants. 189 
permutant ces nombres d’une maniere quelconque) est ce 
qu’on nomme Determinant. On pourrait encore generaliser 
cette definition en admettant plusieurs systemes de nombres 
1, 2 . . . , n; V, 2' ... ,n ; ... qui alors devroient 
etre permutes independamment les uns des autres ; on ob- 
tiendrait de cette maniere une infinite d’autres fonctions, 
mentionnOes (T. xxx. p. 7 ). Dans le cas des determinants ordi- 
naires, auquel je ne m’arreterai pas ici, on aura (1, 2 ... n) 
= ^ a ,i A/ 3,2 • • • K,n. Pour les cas des fonctions dont il 
s’agit (les fonctions de M. Jacobi), on supposera n pair, et 
l’on ecrira 
(12 . . . n) = A 12 A 34 . . . A. n _ l w , 
ou \ rs sont des quantites quelconques qui satisfont aux 
equations (1). La fonction sera composee d’un nombre 
1.2 ...» de termes; mais parmi eux il n’y aura que 
1.3 .. . (n - 1) termes differents qui se trouveront repetes 
2 in (1.2 . . . \ri) fois, et qu’on obtiendra en permutant 
cycliquement d’abord les n - 1 derniers nombres, puis les 
n - 3 derniers nombres de chaque permutation, et ainsi de 
suite ; le signe etant tou jours + . Il pourra etre demontre, 
comme pour les determinants, que ces fonctions changent 
de signe en permutant deux quelconques des nombres sym- 
boliques, et qu’elles s’evanouissent si deux de ces nombres de- 
viennent identiques. De plus, en exprimant par [12 ... n\ 
la fonction dont il s’agit, la regie qui vient d’etre enonce, 
donnera pour la formation de ces fonctions : 
[1 2 . . . n~\ = A. 12 [3 4 . . . ri\ + X 13 [4 . . . n, 2] 
+ + Kn [2 3 ... n — 1]_ 
Dismissing, as not of present interest, the sentence regarding 
the generalisation obtained by admitting more than one system of 
symbolic numbers, we note first of all the peculiar general use of 
(1 2 ... n) for any function the expression of which involves* as 
suffixes or otherwise the numbers 1, 2, 3, . . . , n. Then we are 
struck with the fact that the use of this along with 2 - gives a 
* Apparently it is meant to be implied that each of the numbers occurs 
only once in the expression. 
