368 Proceedings of Royal Society of Edinburgh. [sess.- 
There is then added a simple verificatory proof which consists 
in noting (1) the double alternating character of the function * 
0 ( a i) ■ <£( a 2 ) • • • <f>( a n-i) • 2 ± 
1 a l ^2 — a 2 
(2) its degree in any one of the a’s or f s; (3) the sign of any one 
of its terms. The exact words are — 
“Der Beweis der obigen Formel ergiebt sich durch die 
Betrachtung, dass 
<M a 1) • • • • • 1) • 2 ± / \r~ • rzr~ • • • • j — - — - 
h a l ^2 a 2 ^n-1 ~ a n— 1 
eine ganze rationale alternirende Function sowohl in Bezug 
auf die n - 1 Grossen t p als auch in Bezug auf die n - 1 
Es ithersteigt aber in dieser Function 
Grossen a m ist. 
weder eine der Grossen t p noch eine der Grossen a m den 
(n - 2)ten Grad : daher ist sie nicht hloss durch das Product 
II( a i , j • . . j a n _i) . II (t^ j • ■ • ) I'n- 1) 
theilbar, sondern, abgesehen vom Zeichen, diesem Producte 
selbst gleich, da ihre einzelnen Terme keine andern Zalilen- 
coefhcienten haben, als ± 1. Da nun die Determinants 
positiv sein soli, so musste rechts vom Gleichheitszeichen 
noch der Factor ( - l) in(n_1) binzugefugt werden. J? 
Mainardi (1850). 
[Sulla integrazione dell’ equazioni differenziali. Annali di sci. 
mat. ejis., i. pp. 50-89.] 
* The product </>(« d . 0(a 2 ) . • . 0(«n-i) is arrangeable as a square array of 
binomial factors, being in fact, save as to sign, the product of all the 
denominators in the double alternant, and is thus seen to be symmetrical 
with respect both to the a’s and to the f s. If therefore we multiply each 
row of the alternant by the product of the denominators of the row, or each 
column by the product of the denominators of the column, we multiply the 
alternant by ( - l)( n - 1 )^- 2 )0(a 1 ) . 0(a 2 ) . • • <P(a n - 1 ). The two determinants 
thus resulting have elements which are the product of n- 2 binomial factors, 
and are equal to 
(-DKn-ilBaiK^,^ n (h,t 2 , . . . 
If, on the other hand, we multiply each element — U- of the alternant by 
ar ~ t s 
a” -1 - i” -1 we obtain the product of the two n’s as reached by the ordinary 
multi plication- theorem of determinants. 
