442 Proceedings of Royal Society of Edinburgh. [sess. 
1800 — that is to say, half a century after the appearance of 
Cramer’s. 
In § 5, p. 266, he considers a pair of permutations which are so 
related that the one is got from the other by the interchange of 
two of the elements of the latter — “ zwo Permutationen, welche 
sich nur dadurch unterscheiden, dass zwey Elemente in ihnen 
versetzt sind ” — and he succeeds in proving that two permutations 
having this relationship must, according to Cramer’s rule, differ in 
sign. As a corollary to this he asserts that we can easily deter- 
mine whether two permutations have like or unlike signs by 
counting the number of interchanges necessary to transform the 
one into the other. His words are — 
“ Da man durch successive Vertauschung zweyer Elemente, 
von jeder Permutation auf jede kommen kann, so wird man 
zu bestimmen im Stande seyn, oh zwey gegebene Permuta- 
tionen einerley oder verschiedene Zeichen haben, nachdem 
eine gerade oder ungerade Anzahl Yertauschungen dazu 
erfordert wird. Gesetzt man soilte untersuchen, ob die 
bey den Permutationen fiir r— 10 
2, 10, 9, 3, 1, 7, 4, 5, 8, 6 
6, 2, 7, 10, 5, 3, 9, 8, 1, 4 
einerley oder verschiedene Zeichen haben, so leite man die 
letztere aus der erstern, durch successive Vertauschung zweyer 
Elemente (die allemal hier mit Puncten hezeichnet werden 
mogen) also ab : 
2, 10, 9, 3, 1, 7, 4, 5, 8, 6 
6, 10, 9, 3, 1, 7, 4, 5, 8, 2 
6, 2, 9, 3, 1, 7, 4, 5, 8, 10 
6, 2, 7, 3, 1, 9, 4, 5, 8, 10 
6, 2, 7, 10, i, 9, 4, 5, 8, 3 
6, 2, 7, 10, 5, 9, 4, 1, 8, 3 
6, 2, 7, 10, 5, 3, 4, 1, 8, 9 
6, 2, 7, 10, 5, 3, 9, i, 8, 4 
6, 2, 7,10, 5, 3, 9, 8, 1,4 
Da man also durch 8 Yertauschungen aus der ersten die 
zweyte ableiten kann, so- haben beyde einerlei Zeichen, 
nehmlich — ” 
