910 Proceedings of Royal Society of Edinburgh. [sess. 
et nommons 
P Q 
Q P 
les quatre sommes ainsi obtenus, P etant celle qui renferme 
les senles variables x ,y ,z , . . . , et P celle qui renferme les 
seules variables x , y , z , . . . , en sorte qu’on ait 
P = xP x + yP y + zP z + ■ ■ Q = xP x + yP y + zP z + • • • 
Q = xP x + 2/Py + zP z + • • • , P = xP x + yP y + zP z + . • • 
La resultante 
P P - QQ , 
formee avec ces quatres sommes, dependra uniquement des 
binomes qui represented les divers termes de la serie 
xy -xy, xz-xz, . , yz-yz, 
et sera une fonction de ces binomes, non-seulement entiere, 
mais encore homogene et du second degre.” 
The full meaning of the theorem and the mode of establishing 
it will be readily understood from working out the case where the 
number of terms in each element of the initial determinant is 
three. The process is — 
| P Q I- = I xP x + yP y + zP z xP x + yP y + zP z 
Q P' _ I xP x + yP y + zP z xP x + yP y + zP z I, 
p P 
P z 1 
\x y 
P P 
x x A y 
P Z f 
x y z 1 
P P 
1 x y 
_ x y 
+ 
X Z 
+ 
Py P> |. 
y i 
P P 
1 L x y 
x y 
p p 
x X x z 
X z 
Py Pi 
y z 
xP XtX + yP Xt y + zP Xth xP y>x + yPy ty + zPy tZ I xy 
^-Px ' x T y Rx , y b ^Py , z ^-Py ,x^~ y Py ,y ^Py , z y 
I xP x ,x + yPx,y+zPx,z *Pz,x + yPz,v+ zP z,z 
+ I y P x>y + Z P xz xP ZiX + yP !, , y + zP Z)Z 
X z 
X Z 
+ 
xPy, x + yPy,y + zP v ,z xPz,x + yP Z , y +zP Z , Z 
xPy.x + yPy'.V + zPy.z xP z.x + y P z ,„ + zP z , t . 
y z 
y z 
