1888-89.] Dr T. Muir on the Theory of Determinants. 
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inability to use tbe rule later in the demonstration of the so-called 
Laplace’s expansion-theorem, he is forced to supplement it by 
another convention. His words are (p. 203) — 
“ Avant d’aller plus loin, faisons encore la determination 
suivante. Soit « une fonction quelconque dans laquelle les 
k quantites A,B,C, . . . A s entrent d’une maniere quel- 
conque. Supposons que ces dernieres soient les k premieres de 
1’echelle 
(f 
> 
Qu’on fasse avec ces s 
'A B C . . . A* . . . S 
2 3... k . . 
elemens toutes les combinaisons sans repetition de la classe k , 
et qu’on les substitue successivement an lieu de A,B, . . . A* 
dans la fonction co ; c’est-a-dire le premier element de chaque 
combinaison a A, le second a B, etc. Nous obtiendrons par la 
autant de fonctions semblables a w qu’il y a de combinaisons de 
la classe k de s elemens. Or, entre toutes les combinaisons qui 
en precedent une quelconque, il s’en trouvera une qui aura k- 1 
elemens communs avec elle, tandis que les deux elemens qui 
restent isoles dans Tune et Fautre se suivent immediatement 
dans 1’echelle. Donnons a la fonction qui contient la derniere 
de ces combinaisons le signe oppos4 a celui de l’autre fonction ; 
par consequent les signes de toutes les fonctions semblables a 
co seront parfaitement determines, et dependront du signe de 
la premiere fonction (/(A,B,C, . . . A*) ). Soit, par exemple, 
s = 5, k = 3 ; nous aurons successivement, en remplagant 
A,B,C, . . . S par 1, 2, 3, 4, 5, et en donnant le signe ( + ) a 
/ (123), 
+ /(123) , -/( 124) , +/(125) , +/(134) , -/(135) 
+/(145) , -/( 234) , +/( 235) , -/(245) , +/(345) . 
Yoici comment on determinera le signe de chaque fonc- 
tion semblable a w d’apres celui d’une antre quelconque. 
Qu’on cherche les nombres qui se trouvent dans l’echelle 
'A B C . . . A* . . . S\ 
,12 3... I . . .s) 
sous les Clemens de l’une et 
de 
l’autre de ces fonctions. Si l’on nomme h et li' leurs sommes 
respec fives, on trouvera le signe de l’une des fonctions = 
( - \y~ h x le signe de l’autre.” 
VOL. xvi. 5/7/89 
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