212 Proceedings of Boy al Society of Edinburgh. [sess. 
“ Theoreme V. — Soient les echelles 
(ab..r, a , b , . . . r \ (a p y . . . a n , a* +1 , . . . p \ 
\1 2 . . n , n+1 , n+2, ... 2nJ \1 2 3 . . . n , n + 1 , . . . 2 n) 
qu’on fasse avec les elemens /3,y, . . . , p tontes les combinai- 
sons de la classe (n- 1), et qu’on les substitue successivement 
dans le premier facteur du produit 
(ab. . . r , a/3y ... a n ) . (ah ... r t a n+1 . . . p) 
an lieu de fiy . . . a n ; qu’on remplace maintenant dans l’autre 
facteur les exposans a n+1 . . . p par tous ceux qui ne se trouvent 
pas dans le premier, en ayant soin de les ecrire suivant l’ordre 
indique par les echelles. Si l’on donne au premier produit le 
signe ( + ), et qu’on determine les signes de tous les autres 
d’apres (II), la somme algebrique en sera = 0, que le nombre 
n soit pair ou impair.” (xxm. 8) 
An example of it is 
(abc, 123 )(abc, 456) - (abc, 124 )(abc, 356) 
+ (abc, 125)(a5c, 346) - (abc, l2Q)(abc, 345) 
+ (abc , 134 )(abc, 256) - (abc, 135 )(abc, 246) 
+ (abc, 13 6)(abc, 245) + (abc, 14 5)(abc, 236) 
-(abc, 14 6)(a6c, 235) + (ale, 15 6)(abc, 234) = 0, 
the left-hand side being nothing more than the first ten terms of 
one of the expansions of the vanishing determinant 
t?2 flg 0!^ flg 
b 2 b 3 5 4 b 5 b Q 
C 1 C 2 C 3 C 4 C 5 C 6 
a x a 2 a 3 a 4 a 5 a Q 
b\ b 2 b 3 5 4 Iq 
C 1 C 2 e 3 C 4 C 5 C 6 ’ 
or the other ten terms with their signs changed. Keiss’s proof is 
lengthy and troublesome, the method being to expand each factor 
in terms of the a’s and their complementary minors, perform the 
the multiplications (e.g., in the special case just given the multipli- 
