1888 - 89 .] Dr T. Muir on the Theory of Determinants. 
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cation of a Y \ b 2 c 3 \ - ct 2 \< h&j + a^b^ by afb 5 c 6 \ - a 5 \\c 6 \ + a 6 |& 4 c 5 |, &c.) 
and show that the terms of the final aggregate occur in pairs which 
annul themselves. 
The next theorem is of still greater interest, because it is that 
peculiar generalisation of the preceding which in later times came 
to be known as the Extensional. The way in which it is estab- 
lished is also noteworthy, viz., by deducing it as a special case from 
the theorem of which, as we have said, it may be viewed as a 
generalisation. The authors words are (p. 213) : — 
“ Ce th^oreme nous conduit a une relation qui existe dans le 
cas le plus general, savoir si v - n est un nombre quelconque 
ou positif ou n^gatif. Supposons v>n, et v - n — ^ ; soient les 
echelles, 
/«&... r , a , b , . . . r , A , B , . . . R\ 
U2...N, N + l, N + 2, . . . 21ST , 2N + 1, 2N+2, ...v) 
Qu’on fasse avec les elemens /?, y, . . . a N , a N+1 . . . p toutes 
les combinaisons de la classe N - 1 ; qu’on les substitue succes- 
sivement au lieu de ft . . . a N dans le premier facteur du 
produit 
qu’on remplace dans l’autre facteur les exposans a N+1 . . . p 
par tous ceux qui ne se trouvent pas dans le premier : qu’on 
determine enfin le signe de chaque produit d’apres (II) : la 
et 
/a (3 ... a? j a N+1 
VI 2 ... 1ST , N+l 
P , A , B , . . . P' 
2N, 2N+1, 2N + 2, ... Vt 
). 
(ab. . . rAB . . . B , a/3 ... a N AB . . . P) 
x (ab . . . rAB . . . R, a N+1 . . . p AB . . . P) ; 
somme algebrique en sera = 0. 
“ En effet, supposons les echelles 
(xxiii. 9) (xlv. 6) 
