214 Proceedings of Royal Society of Edinburgh. [sess. 
Formons avec ces elemens la fonction decrite dans le dernier 
theoreme : la somme totale en sera done = 0. et le premier 
terme aura la forme 
(ab . . . rAB . . . R , a/3 . . . pA . . . A v ~ 3N ) 
x (ab . . . rAB . . . K , A"" 3N+1 ... PA ... P) . 
Or, on voit facile ment que tous les termes qni ne contiennent 
pas dans chaque facteur tous les exposans A,B, . . . P, 
s’evanouiront separement, parce qu’il y aura des exposans 
identiques dans l’un ou l’autre des facteurs. 11 ne restera 
done que les termes qui, contenant a dans le premier facteur, 
y 4puisent successivement toutes les combinaisons de la classe 
N-l des elemens /3, y , p. Mais les signes de ces termes 
sont ^videmment determines comme ils devaient l’etre ; 
partant la somme algebrique de tous les termes est = 0, ce qu’il 
fallait demontrer. 
This will be best understood by considering a special example. 
Going back to the previous theorem, and selecting its simplest case, 
we have 
\ a A\-\ a A\ - \ a M\ a 2h\ + K^l-Wsl = °- 
Now what the new theorem asserts in regard to this is that we 
may with impunity extend each of the determinants occurring in it, 
provided the extension be the same throughout. For example, 
choosing the extension £ 6 rj 7 * we can, in virtue of the new 
theorem, assert the truth of the identity 
\ a il ) 2^hV6^\'\ a 3^4^5 r l6^l\ ~ 
That the two may be viewed as cases of the same theorem will be 
apparent when it is pointed out that just as the first is derivable 
from 
\ b 2 
- 0 , 
* In Reiss’s notation the extension is A a Bb . . . Rp . 
