1888 - 89 .] Dr T. Muir on the Theory of Determinants. 751 
Next we have an alternating function with respect to several indices 
(p. 155):— 
“ Quelquefois on represente ces memes variables par une 
seule lettre affectee de divers indices 
0, 1, 2, 3 w, 
et l’on peut dire alors que la fonction ou la somme dont il 
s’agit est alternee par rapport a ces indices. Ainsi, par exemple, 
le produit 
(#o — aq)(# 0 — X 2){ X l ~ x 2) 
est une fonction alternee par rapport aux variables 
x 0t X v 
ou, ce qui revient au meme, par rapport aux indices 
o, 1, 2.” 
This example being an alternating function according to the first 
definition, it would seem that here we have a mere abbreviation or 
variation of language. There are, however, it must be borne in 
mind, functions which are alternating with respect to indices, and 
are not alternating according to the first definition. For example, 
any determinant, like 
a 1 h 2 c 3 
+ + 
^ 2 ^ 3 C 1 
^ 3 ^ 2 C 1 ^ 2 ^ 1 C 3 
is alternating with respect to all the indices involved, but is not 
alternating with respect to all or any other number of the variables 
a 11 a 2 ,a 3 , & 1 ,6 2 ,& 3 , c ly c 2 ,c s . Strange to say, Cauchy makes no mention 
of this, but goes on to a third definition, by means of which alter- 
nating functions are made in another way to include determinants. 
He says (p. 156) : — 
“On pourrait obtenir aussi des fonctions qui seraient 
alternees par rapport a diverses suites , c’est a dire, des fonctions 
qui auraient la propriete de changer de signe, en conservant, 
au signe pres, la meme valeur quand on echangerait entre eux 
les termes correspondants de ces memes suites. Considerons, 
par exemple, m suites difierentes composees chacune de n 
termes qui se trouvent represents, pour la premiere suite, 
par 
x 0 i x v ••••■> X n-1 3 
