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1888 - 89 .] Dr T. Muir on the Theory of Determinants . 
with respect to b, c, or, shortly, an alternating function of all its 
variables. On the other hand, the expressions 
a 2 b - c 2 d , 
ab -c d , 
would illustrate the second usage ; a 2 b — c 2 d being an alternating 
function with respect to the sets of variables ab, cd ; and ab - cd 
an alternating function with respect to the sets ab, cd, and also 
with respect to the sets ae, bd. In a word, the alteration which 
produces change of sign is, in the case of the first usage, interchange 
of two individual elements ; in the case of the second usage it is 
interchange of two ranks or sets of elements. 
The entity to which the new name somme alternee is given is 
explained as follows (p. 1 60) : — 
“ Soit 
f(x, y, z, ... .) 
une fonction quelconque de n variables 
x, y,z, ... . 
et ajoutons a cette fonction toutes celles qu’on peut en deduire 
par la transposition des variables, ou, ce qui revient au meme, 
par un ou plusieurs echanges operas chacun entre deux vari- 
ables seulement, chaque nouvelle fonction etant prise avec le 
signe + ou le signe - , suivant qu’elle se deduit de la 
premiere a l’aide d’un nombre pair ou impair de semblables 
echanges. La somme s ainsi obtenue sera la somme alternee 
que nous representons par la notation 
S [±%, y,z ,... )]. 
Ou trouvera, par exemple, en supposant n = 2, 
s = f(x, y) - %, x)] 
en supposant n = 3, 
s = i{x,y,z) - i(x,z,y) + i(y,z,x) - f(y,oc,z) 
etc.” 
+ Kwj) - 
The only matter now remaining for explanation is the mode of 
transition from sommes alternees to resultantes, the difficult point 
