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Eugeni© Beltrami 
Importa osservare che le proprietà precedentemente di- 
mostrate si potrebbero dedurre semplicemente dal teorema 
che le polari di un punto rispetto alle infinite coniche cir- 
coscritte ad un quadrigono passano tutte per un medesimo 
punto. Infatti , in virtù di questo teorema , basta conside- 
rare due sole coniche del sistema , e per semplicità si pos- 
sono adoperare a quest’ uopo due coppie di lati opposti del 
quadrigono , per es. quelli che concorrono in A ed in B. 
Ora, la polare di un punto rispetto ad una coppia di rette 
è una retta unica ed individuata che passa pel loro punto 
di concorso; e reciprocamente, data nel piano una trasver- 
sale , non esiste in questa che un punto unico ed indivi- 
duato il quale abbia per polare una data retta , passante 
pel punto di concorso anzidetto. Dunque mentre il punto 
si muove sulla trasversale, le sue due polari generano due 
fasci projettivi , e quindi s’ intersecano lungo una conica 
passante per i punti A e B. Questa conica passa anche 
per C 9 giacché essa avrebbe potuto essere generata egual- 
mente dalle due coppie di lati opposti che concorrono in B 
ed in C. 
Consideriamo specialmente in questa conica i punti che 
corrispondono a quelli nei quali la trasversale è segata dai 
lati del quadrigono. La retta 01 ossia A\ sega la trasver- 
sale in un punto Q, epperò la polare di questo punto ri- 
spetto alla coppia di rette A \ , A2 coincide colla stessa A\- 
È chiaro dunque che il punto d’ incontro delle due polari 
di Q è il conjugato armonico di Q rispetto al segmento 01 : 
dunque la conica passa per questo punto conjugato ar- 
monico. Lo stesso evidentemente si può dire d’ ogni altro 
segmento analogo. 
Le proprietà dimostrate nel precedente articolo ed al 
principio di questo sono dunque una facile ed immediata 
conseguenza del teorema surricordato. 
IV. 
La conica di nove punti incontra la trasversale (1) 
due punti E ed E' pei quali passano infinite altre coni- 
