Eugenio Beltrami 
rema consegue che tutti i punti della retta AM hanno i 
loro corrispondenti sulla retta AM' e reciprocamente ; esse 
inoltre sono conjugate armonicamente rispetto ai due lati 
del quadrigono concorrenti in A , dunque : 
Se uno qualunque dei vertici del triangolo fondamentale 
si congiunge mediante rette con un numero qualsivoglia di 
punti del piano , corrispondenti fra loro a due a due , si de- 
termina un fascio in involuzione . Le rette doppie di questa 
involuzione sono i due lati opposti del quadrigono concor- 
renti in quel punto , e sono rette corrispondenti di essa quelle 
che passano per due punti corrispondenti. 
In altre parole le rette doppie sono quelle che vanno dal 
vertice del triangolo ai quattro punti doppj del piano, punti 
che sono a due a due in linea retta col vertice medesimo. 
Mediante il teorema precedente si vede facilmente quali 
sieno i punti corrispondenti di quei punti del piano per i 
quali una o due delle coordinate son nulle, ciò che non 
bene risulta dalle formole (7). È chiaro infatti che : 
1 . ° ) A ciascun punto di uno dei lati del triangolo fon- 
damentale corrisponde il vertice opposto , giacché Y angolo 
di due lati del triangolo è diviso armonicamente dai due 
lati del quadrigono concorrenti nel suo vertice; 
2. °) A ciascun vertice corrisponde un punto arbitrario del 
lato opposto. 
Da ciò segue che ad ogni retta passante per un verti- 
ce A del triangolo fondamentale corrisponde propriamente 
il sistema di due rette. Una è quella che si menziona in 
un precedente teorema, V altra è il lato BC , opposto al 
vertice A per il quale è condotta la retta. Ma siccome que- 
sta seconda retta non è che il luogo dei punti corrispon- 
denti all’ unico punto A , così se si fa astrazione da que- 
sto , si può ritenere che il luogo dei punti corrispondenti 
ai punti della retta sia una retta unica, determinata come 
s’ è detto. 
IX. 
In virtù del teorema relativo alF involuzione delle rette 
condotte da un vertice del triangolo a più coppie di punti 
