Intorno alle coniche di nove punti 385 
corrispondenti, diventa sommamente facile risolvere qua- 
lunque problema relativo alla trasformazione che abbiamo 
di mira. 
Ed intorno a questa fa d’ uopo osservare primieramente 
eh’ essa può considerarsi sotto due aspetti , secondo che la 
si riguardi come generata geometricamente coll’ ajuto del 
quadrigono, o come definita analiticamente dalle equazio- 
ni (7). Tanto nell’ una ipotesi quanto nell’ altra essa dipen- 
de da otto costanti arbitrarie che sono, nel primo caso le 
coordinate dei quattro vertici del quadrigono , nel secondo 
i parametri delle rette che si assumono come lati del trian- 
golo fondamentale e i due rapporti a 2 : £ 2 : c 2 . 
Noi prescinderemo ora dalla considerazione del quadrigo- 
no, che abbiamo fin qui tenuta di vista, e supporremo 
che la trasformazione sia determinata dalla natura del trian- 
golo fondamentale e da due punti del piano assunti come 
reciprocamente corrispondenti. Le coordinate di questi pun- 
ti individuano infatti , per mezzo delle (7) , i valori dei 
rapporti a 2 : b 2 : c 2 . Osserveremo anzi che in tale ipotesi si 
ha una trasformazione più generale della prima , in questo 
senso che, se le a 2 , b *, c 2 risultassero avere valori nega- 
tivi , la trasformazione stessa non si potrebbe ottenere da 
un quadrigono reale. 
Chiamiamo E, E r i due punti assunti come corrispon- 
denti , A , B , C i tre vertici del triangolo fondamentale. 
Le rette AB, AC, AE , AE r determinano un’ involuzione 
di cui si possono determinare i raggi doppj (se reali). Al- 
trettanto dicasi delle rette BC , BA , BE , BE' . Le quattro 
intersezioni di questi raggi doppj saranno i quattro vertici 
del quadrigono generatore della trasformazione. 
La condizione che deve aver luogo affinchè il detto qua- 
drigono sia intieramente reale è che tutti e tre i lati del 
triangolo fondamentale, prolungati se occorre, incontrino 
la retta EE f nel tratto compreso fra E ed E' , o che nes- 
suno di essi la incontri nel detto tratto. Negli altri casi , 
delle tre involuzioni una sola ha i raggi doppj reali , men- 
tre le altre due li hanno immaginarj. Perciò il quadrigono 
generatore ha sempre almeno due lati ( opposti ) reali : ma 
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