Eugenio Beltràmi 
i suoi vertici o son tutti reali o son tutti immaginar). Tutto 
ciò è una facile conseguenza dei noti criterj relativi alla 
reciproca disposizione delle coppie di raggi corrispondenti 
nei fasci in involuzione. 
Supponiamo ora dato nel piano un punto F. Il suo cor- 
rispondente F sarà pienamente individuato. Per trovarlo 
si conducano le rette AF 3 BF e si determini il punto d’ in- 
contro della sesta retta dell’ involuzione AB, AC, AE 3 
AE', AF colla sesta retta dell’ involuzione BA 3 BC 3 BE 3 
BE’ 3 BF. Questo punto d’ incontro sarà il cercato punto F. 
Abbiansi due coppie di punti corrispondenti : E ed E' 3 
F ed F. Conduciamo le rette EF 3 EF che si incontrano 
nel punto O, e le rette EF 3 E'F' che si incontrano nel 
punto O'. Otteniamo così un quadrilatero completo i cui 
lati sono EF 3 EF, O’F, OF. 
È noto che tirando da un punto qualunque P le rette 
che vanno ai sei vertici di questo quadrilatero, si ottiene 
un fascio in involuzione, i cui raggi corrispondenti sono 
le tre coppie di rette PE e PE' 3 PF e PF r , PO e PO , 
che vanno dal punto P alle tre coppie di vertici opposti 
del quadrilatero. Se si fa dunque coincidere il punto P suc- 
cessivamente con due vertici del triangolo fondamentale , si 
vede chiaramente che O ed O' sono punti corrispondenti. 
Da ciò segue che dei sei vertici del quadrilatero com- 
pleto in discorso, tre situati in linea retta hanno per cor- 
rispondenti i tre rimanenti. Ma i tre primi, appunto per 
essere in linea retta, devono avere i loro corrispondenti 
in una conica circoscritta al triangolo fondamentale; dunque. 
Date due coppie di punti corrispondenti , congiungendo 
ciascuno dei punti di una coppia coi due punti delV altra, 
si hanno quattro rette ìntersecantisi in due nuovi punti. Que- 
sti due punti sono fra di loro corrispondenti , e ciascuno dei 
triangoli formati da tre delle quattro rette anzidette è inscn- 
vibile in una conica circoscritta al triangolo fondamentale , 
che ha per corrispondente la retta rimanente. 
Supponiamo descritta la conica che passa per i tre pun- 
ti E f 3 0' 3 F' e per i vertici del triangolo fondamentale , os- 
sia, in altre parole, la conica corrispondente alla retta OEr . 
