Intorno alle coniche di nove punti 393 
XII. 
Facciamo alcune ipotesi sugli elementi che determinano 
la ^presente trasformazione. 
Supponiamo che il quadrigono sia ortogonale. In questo 
caso i raggi doppj di ciascuna delle tre involuzioni formate 
dalle rette che vanno da ciascun vertice del triangolo fon- 
damentale alle coppie di punti corrispondenti sono fra loro 
perpendicolari. Ne risulta, come è noto, che le rette con- 
dotte da un vertice del detto triangolo , per esempio da A, 
a due punti corrispondenti , come sarebbero E ed E ‘ , for- 
mano angoli eguali con ciascuno dei due lati del quadri- 
gono che concorrono in A, ossia coi due lati A\ e 23. Se 
quindi la figura cui appartiene il punto E si facesse ruo- 
tare intorno alla retta A \, oppure alla retta 23, finché, 
dopo aver fatto un mezzo giro , essa si tornasse ad adagia- 
re nel piano, ciascun punto della figura stessa, come E , 
si troverebbe in linea retta col suo corrispondente E 1 e col 
punto A j e sarebbe , nel primo caso dalla stessa parte del 
suo corrispondente rispetto al punto A , nel secondo caso 
dalla parte opposta. Lo stesso dicasi dei punti B e C. 
Per tal modo i sei lati del quadrigono ortogonale hanno 
la proprietà che una mezza rotazione fatta intorno ad uno 
qualunque di essi da una figura esistente nel loro piano, 
la trasporta in tal posizione rispetto alla figura corrispon- 
dente , che due punti corrispondenti quali si vogliano stanno 
in linea retta col punto in cui il lato del quadrigono è in- 
contrato dal lato opposto. Essi poi si trovano dalla stessa 
parte rispetto a questo punto , se il lato è uno di quelli 
che passano nell’ interno del triangolo ABC , si trovano da 
parti contrarie, se il lato è intieramente esterno al trian- 
golo stesso. 
Supponiamo invece che il quadrigono sia tale che due 
dei vertici dei triangolo fondamentale , per esempio B e C, 
diventino i due punti circolari all’ infinito. 
In questo caso a qualunque retta del piano corrisponde- 
rà una circonferenza passante per il punto A. 
Per determinare completamente questa trasformazione as- 
t. il. 50 
