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Luigi Cremona 
In questo breve scritto mi propongo di mostrare diret- 
tamente la possibilità di trasformazioni geometriche di figure 
piane y nelle quali le rette abbiano per corrispondenti delle 
curve di un dato ordine qualsivoglia. Stabilisco dapprima 
due equazioni che devono aver luogo fra i numeri de’ punti 
semplici e multipli comuni a tutte le curve che corrispon- 
dono a rette. Poi dimostro come , per mezzo di raggi ap- 
poggiati a due linee direttrici , si possano projettare i punti 
di un piano sopra un secondo piano , e cosi trasformare 
una figura data in quello , in un’ altra figura situata in 
questo. 
SULLE TRASFORMAZIONI DELLE FIGURE PIANE. 
Considero due figure situate 1’ una in un piano P, V al- 
tra in un piano P\ e suppongo che la seconda sia stata de- 
dotta dalla prima per mezzo di una qualunque legge di 
trasformazione: in modo però che a ciascun punto della 
prima figura corrisponda un solo punto nella seconda , e re- 
ciprocamente ad ogni punto di questa un solo punto in quella. 
Le trasformazioni geometriche soggette alla condizione 
or ora enunciata sono le sole eh’ io miri ad esaminare in 
questo scritto : e si chiameranno trasformazioni di primo 
ordine (f) , per distinguerle dalle altre determinate da con- 
dizioni diverse. 
Supposto che la trasformazione per la quale le figure 
proposte sono dedotte V una dall’ altra sia , tra quelle di 
primo ordine , la più generale possibile , domando : quali 
linee di una figura corrispondono alle rette dell’ altra? 
Sia n l’ordine della linea che nel piano P' (o P) cor- 
risponde ad una qualsivoglia retta del piano P (o P ). 
Siccome una retta del piano P è determinata da due pun- (*) 
(*) Schiapàrelli : Sulla trasformazione geometrica delle figure ed in parti- 
colare sulla trasformazione iperbolica ( Memorie della R. Accademia delle scien- 
ze di Torino, serie 2% tom. XXI, Torino 1862). 
