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Luigi Cremona 
punto di questo corrisponda un sol punto di quello, ima- 
gino due linee direttrici tali che per un punto arbitrario 
dello spazio possa condursi una sola retta ad incontrarle 
entrambe ; e considero come corrispondenti i punti ne’ quali 
questa retta incontra i piani P e P\ 
Siano p s q gli ordini delle due linee direttrici , ed r il 
numero dei punti ad esse comuni. Assunto un punto ar- 
bitrario o dello spazio come vertice di due coni , le di- 
rettrici dei quali siano le due linee anzidette, gli ordini 
di questi coni saranno p, q, epperò avranno pq genera- 
trici comuni. Del numero di queste sono le rette che uni- 
scono o cogli r punti comuni alle due linee direttrici; e 
le rimanenti pq — r generatrici comuni ai due coni sa- 
ranno per conseguenza le rette che da o si possono con- 
durre ad incontrare sì 1’ una che 1’ altra linea direttrice. 
Ma le rette dotate di tale proprietà voglionsi ridotte ad 
una sola ; dunque dev’ essere : 
(4) pq — r = 1 . 
D’ altronde , ad una retta qualunque R situata in uno 
de’ piani P, P', dee corrispondere nell’ altro una curva 
d’ ordine n; cioè una retta mobile che incontri costante- 
mente la retta R e le due direttrici d’ ordine p s q 3 deve 
generare una superficie gobba d’ ordine n. Si cerchi adun- 
que P ordine della superficie generata da una retta che 
si muova appoggiandosi sopra tre direttrici date, la prima 
delle quali sia una retta H, e le altre due, d’ ordine p 3 
q, abbiano r punti comuni. 
Il numero delle rette che incontrano tre rette date ed 
una linea d’ ordine p è 2 \p : tanti essendo i punti comuni 
alla linea d’ ordine p ed all’ iperboloide che ha per diret- 
trici le tre rette date. Ciò torna a dire che 2 \p è P ordi- 
ue di una superficie gobba le direttrici della quale siano 
due rette ed una linea d’ ordine p. Questa superficie è 
incontrata dalla linea d’ ordine q in 2 \pq — r punti non 
situati sulla linea d’ ordine p. 
Dunque P ordine della superficie gobba che ha per di- 
