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Kaluza. 
wenn für irgend zwei Stellen q und o ans n q umgekehrt 
/»</» folgt. 
Es gelten die Sätze: 
XVIII) Der Wertvorrat einer orthotonen Funktion ist eine Zahlmenge, 
die ,, Wertmenge“ der Funktion. 
XIX) Die Stellenmenge einer monoton abnehmenden Funktion ist 
endlich. 
Von Satz XVIII) gilt offenbar auch die Umkehrung. 
Im folgenden soll, falls nichts anderes bemerkt ist, stets von 
solchen Funktionen die Rede sein, bei denen jeder Ordnungszahl 
eine zweite Zahl eindeutig zugeordnet erscheint, deren Stellenmenge 
also die uneigentliche Menge W ist. 
S') Ist f(g) eine solche Funktion und X eine Limeszahl, so heißt die 
Funktion „stetig an der Stelle A“, wenn sie orthoton ist 
und wenn die zu der Stellenmenge ^4(X) (dem erzeugenden 
Abschnitte von X) gehörige Wertmenge den Wert f (X) erzeugt. 
Es gilt der Satz: 
XX) Ist die Funktion f (q) an der Stelle X stetig und E (2) irgend 
eine erzeugende Menge von X, so erzeugt die zu E ( X ) gehörige 
Wertmenge den Wert f{X). 
XXI) Ist X eine Limeszahl und erzeugt die zu einer erzeugenden 
Menge E (X) von X vermöge einer Funktion f(g) gehörige 
Wertmenge den Wert / (Z), so ist die Funktion f (g) stetig an 
der Stelle X. 
Endlich setzt man noch fest: 
R) Ist die Funktion f(g) an jeder Limesstelle X stetig, so heißt sie 
„überall stetig“ oder „regulär“. 
Über Funktionen einer transfiniten Variablen seien hier folgende 
Sätze hergestellt: 
XXII) Ist f(g) eine orthotone Funktion, deren Stellenmenge ein 
Rest der uneigentlichen Menge W ist, und ist an der Stelle 
a f (a) )> «, so ist auch an jeder höheren Stelle ß (ß )> a) 
m>ß- 
XXII') Es gibt für eine solche Funktion stets eine Stelle a, an der 
f (a) )> a ist 1 ). 
XXIII) Ist die Funktion f (g) darüber hinaus regulär, und ist a eine 
Stelle, an der f (a) )> a ist, so gibt es stets eine höhere Stelle 
ß (ß > a), an der f (ß) — ß ist 2 .) 
!) Vgl. Jacobsthal, Math. Annalen 66, pg. 145 ff. 
2 ) Vgl. Hessenbebg, Grundbegriffe der Mengenlehre, § 64. 
