Ein Problem der Mengenlehre. 
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Aus A{P) = At.(2) folgt Pul 2. 
Ferner: 
K) Ist y irgend eine Ordnungszahl, so heißt jede erzeugende Menge , E (y) 
von y 1 ) eine ,, Kernmenge“ von A(y) und wird mit K (A) 
bezeichnet. 
Die Kernmenge heißt „echt“, wenn sie ein echter Teil von A (y) 
ist, sonst unecht. 
Da A(£2) = W, ist jede uneigentliche Zahlmenge von Typus Q 
eine Kernmenge K(W) von W. 
Weiter setzt man fort: 
G') Eine von 0 verschiedene Zahlmenge heißt „kompakt“ 2 ), wenn 
jeder ihrer Teile, dessen Ordnungstypus von der Zahlmenge 
gedeckt wird, wieder eine Zahl erzeugt, die von der Zahl- 
menge gedeckt wird. 
Jede uneigentliche Zahlmenge K{W) ist danach kompakt; des- 
gleichen soll die Nullmenge 0 als kompakt gelten. 
Es gilt der Satz: 
XVII) Enthält eine Zahlmenge ein letztes Element, so ist sie nicht 
kompakt. 
Daher ist jede kompakte Zahlmenge notwendig unendlich. 
Die Umkehrung von Satz XVII) gilt nicht 3 ). 
Hinsichtlich der Funktionen einer transfiniten Variablen 
sollen die folgenden Festsetzungen gelten: 
F') Ist zu jeder Zahl q einer (von 0 verschiedener) Zahlmenge P eine 
zweite Zahl f(g) eindeutig zugeordnet, so heißt f(g) eine 
„Funktion“ von £>; die Zahl q wird als Argument oder 
„Stelle“ bezeichnet, f(g) als der „Wert“ der Funktion an 
der Stelle q. Die Zahlmenge P heißt die ,, St eilenmenge“ 
der Funktion; die P ähnliche Gesamtheit aller Werte f(g), die 
keine Zahlmenge im obigen Sinne zu sein braucht, soll der 
„Wert Vorrat“ der Funktion heißen. 
M) Eine Funktion heißt „monoton zunehmend“ oder kurz „ortho- 
ton“ ; wenn für irgend zwei Stellen q und a aus g > q auch 
f (g) f(jg) folgt; eine Funktion heißt „monoton abnehmend“, 
!) Oder jede mit A (y) konfinale Zahlmenge. 
2 ) Vergl. Hausdorfes Typenringe. Eine kompakte Zahlmenge ist z. B. die 
zweite Zahlklasse. 
3 ) Die Zahlmenge: «, w -f- 1, co + 2, u • 2, w2-f 1, co • 2 -j- 2, 
z. B. ist nicht kompakt, da sie Teile vom Typus co enthält (etwa: co • 2, co • 2 -j- 1, 
CO ’ 2 + 2, . . . .), die die Zahl co • 3 erzeugen. 
