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Kaluza. 
Beziehung d ist transitiv. 1 ) Weiter ergeben sich bezüglich zweier 
Zahlmengen wieder vier einander ausschließende Fälle als logisch 
möglich: 
an 
P <) 3, 2- ä P 
(10) 
j Pi5 J(<J)P 
(01) 
P(d)S, Z d Z 
(00) 
P(d)2, 
Der Fall (00) erweist sich als ausgeschlossen; es läßt sich also 
auch für die Zahlmengen eine Art von Trichotomie lierstellen: 2 ) 
Im Falle (11) nennen wir P und 3 ,,konf in al“ 3 ) und es ist dann: 
8 (P) = 8 (3) 
d. h. es gilt der Satz: 
XVI) Zwei konfinale Zahlmengen erzeugen dieselbe Ordnungszahl. 
Offenbar sind alle uneigentlichen Mengen zweiter Art (vom 
Typus S2) konfinal. 
Im Falle (10) soll P ,,X untergeordnet“ heißen. Es ergibt sich: 
S(P).<S(2). 
DieXullmenge ergibt sich als jeder andern Zahlmenge untergeordnet. 
Im Falle (01) soll P. ,,A übergeordnet“ heißen. 
Man erhält: 
S(P)>S (2 ). ' 
Jede uneigentliche Zahlmenge vom Typus il ergibt sich als jeder 
andern Zahlmenge übergeordnet. 
Im Falle (10) enthält X entweder die Zahl S (P), die von P er- 
zeugt wird, oder eine Zahl o^, die von P getrennt ist; im Falle (01) 
gilt das Umgekehrte hinsichtlich P und X. 
Bedeutet das Zeichen z die Konfinalität und sind P, und T 
irgend drei Zahlmengen, so folgt aus P z X, Iz T auch P z T, d. h. 
die Beziehung z ist transitiv. 4 ) 
Die Beziehungen der Unterordnung bezw. Überordnung sind 
ebenfalls transitiv 5 ), dagegen asymmetrisch und irreflexiv. 
Des weiteren setzt man jetzt fest: 
P) Ist P irgend eine Zahlmenge, so heißt der mit P konfinale er- 
zeugende Abschnitt von S (P) der ,, konfinale Abschnitt von P“ 
und wird mit yl (P) bezeichnet. 
1) Sie ist auch reflexiv. 
2 ) Die allerdings eine etwas andere Bedeutung hat, wie oben. 
3 ) Nach Hausdorff. 
4 ) Sie ist auch symmetrisch, mithin reflexiv. 
5 ) Auch in Verbindung mit der Beziehung *. 
