Ein Problem der Mengenlehre. 
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mit S (P) bezeichnet. Enthält P ein letztes Element so 
heißt S (P) auch die „auf folgende Zahl“ und wird dann 
mit s (qi) bezeichnet; enthält P kein letztes Element, so heißt 
S (P) auch der „Limes von P“ (oder der Zahlen von P) 
und wird dann mit L (P) bezeichnet. 1 ) 
Eine erzeugende Menge von y bezeichnen wir mit E{y). 
Hinsichtlich der uneigentlichen Elemente trifft man folgende 
Verfügungen: 
S') Die uneigentliche Zahl 0 wird von der Nullmenge erzeugt; jede 
andere Zahl ist von dieser Menge getrennt. Die uneigentliche 
Zahl Q wird von jeder uneigentlichen Zahlmenge der zweiten 
Art erzeugt; jede andere Zahl wird von einer solchen Gesamt- 
heit gedeckt. Man kann Satz XIII) dann allgemeiner so aus- 
sprechen : 
XIII') Zu jeder Zahlmenge gibt es genau eine Zahl, die von ihr 
erzeugt wird. 
Man hat z. B. auch: 
n = L (W). 
A) Ist ß irgend eine von 0 verschiedene Ordnungszahl, so bildet die 
Menge der Zahlen cc<^ß eine erzeugende Menge von /?; sie 
heißt der „erzeugende Abschnitt von ß u und wird mit 
A(ß) bezeichnet. 
Es ist A (Q) = W\ analog setzen wir fest: A (0) = 0. 
Es gilt dann allgemein der Satz: 
XIV) Jede Ordnungszahl ist der Ordnungstypus ihres erzeugenden 
Abschnittes. 
Offenbar ist jede erzeugende Menge einer Ordnungszahl ein Teil 
des erzeugenden Abschnittes dieser Zahl; daher gilt der Satz: 
XV) Keine erzeugende Menge einer Ordnungszahl ist von einem 
Ordnungstypus, der höher ist als die Zahl selbst. 
Ferner definiert man: 
D') Eine von der Nullmenge verschiedene Zahlmenge P heißt von 
einer ebensolchen Zahlmengee X „gedeckt“, wenn jede Zahl 
aus P von X gedeckt wird. 
Die Nullmenge soll von jeder anderen Zahlmenge gedeckt werden. 
Bedeutet das Zeichen ö diese Beziehung „gedeckt von“, und das 
Zeichen (d) deren Negation, sind ferner P, X und T irgend drei Zahl- 
mengen, so folgt zunächst aus P, ö X, X d T auch P ö T, d. h. die 
h Vgl. weiter unten. 
