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Kaluza. 
Ordnungszahl. Als solche erfüllt sie, wenn ß irgend eine eigent- 
liche Ordnungszahl bedeutet, die Bedingung: 
X) ß<n. 1 ) 
Nunmehr setzen wir fest: 
M) Eine eigentliche Menge von ihrer Größe nach geordneten von 
i 2 verschiedenen Ordnungszahlen soll eine ,, eigentliche 
Zahlmenge“ heißen. 
Als ,, uneigentliche Zahlmenge“ soll jede uneigentliche 
Menge solcher Zahlen bezeichnet werden. 
Uneigentliche Zahlmengen sind demnach: 
1) Die Nullmenge, die keine Ordnungszahl enthält. 
2) Jede Gesamtheit von ihrer Größe nach geordneten von Q, ver- 
schiedenen Ordnungszahlen, die selbst vom Typus D ist. 2 ) 
Jede eigentliche Zahlmenge ist wohlgeordnet. 
Ist irgend eine Ordnungszahl y und irgend eine eigentliche Zahl- 
menge P gegeben, so muß einer der folgenden drei einander aus- 
schließenden Fälle eintreten: 
D) Es gibt in P eine Zahl so daß > y\ y heißt dann „von P 
gedeckt“ und P eine „Deckmenge von /“. 
S) Alle Zahlen von P sind kleiner als y und es gibt keine Zahl ff , so 
daß gleichzeitig g z < y und für jede Zahl q von P; 
/heißt dann „von P erzeugt“ und P eine „erzeugende 
Menge von /“. 
T) Alle Zahlen von P sind kleiner als y und es gibt eine Zahl ff , so 
daß gleichzeitig o z < y und o z ß^Q für jede Zahl q von P; 
y heißt dann „von P getrennt“ und P eine „Vormenge 
von /“. 
Es gelten nun die folgenden Sätze: 
XI) Die uneigentliche Zahl 0 wird von jeder eigentlichen Zahl- 
menge gedeckt. 
XII) Die uneigentliche Zahl Q, ist von jeder eigentlichen Zahl- 
menge getrennt. 
XIII) Zu jeder eigentlichen Zahlmenge P gibt es genau eine eigent- 
liche Zahl y p, die von P erzeugt wird. 
Man setzt noch fest: 
L) Die von der eigentlichen Zahlmenge P erzeugte Zahl /p heißt die 
„auf P (oder die Zahlen von P) folgende Zahl“ und wird 
b Es muß demnach 0 << £1 sein. 
2 ) Eine solche uneigentliche Zahlmenge ist z. B. die Gesamtheit aller Potenzen 
von co oder auch die aller Anfangszahlen. 
