Ein Problem der Mengenlehre. 
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Die Fälle (10) und (01) decken sich mit M<^N bezw. N. 
Der Fall (11) ist für endliche Mengen ausgeschlossen; für un- 
endliche liefert er Mc^N (Ähnlichkeitssatz). 
Der Fall (00) ist für unendliche Mengen ausgeschlossen; für 
endliche liefert er ilf cp, A T . 
Als wichtigster Satz über allgemeine Teile ergibt sich dabei: 
VII) Kein Teil einer wohlgeordneten Menge ist von höherem Ord- 
nungstypus als die Menge selbst. 
Man führt jetzt, um lästige Ausnahmen zu vermeiden, zweck- 
mäßig uneigentliche Elemente in die Betrachtungen ein: 
In erster Linie steht hier die uneigentliche (fingierte) Menge 0, 
die ,, Null men ge“, die keine Elemente enthält, und die wir als un- 
eigentlichen Teil, speziell auch als uneigentlichen Abschnitt 
einer jeden Menge gelten lassen. Es gilt dann z. B. allgemein 
(auch für das erste Element) der Satz: 
VIII) In einer wohlgeordneten Menge bildet die Menge der einem 
bestimmten Elemente vorgeordneten Elemente einen Ab- 
schnitt. 
Analog fassen wir als uneigentlichen Rest einer Menge die 
Menge selbst auf. 
Den (uneigentlichen) Ordnungstypus der Nullmenge bezeichnen 
wir mit 0 und verwerten ihn als un eigentliche Ordnungszahl. 
Als solche erfüllt sie, wenn ß irgend eine eigentliche Ordnungs- 
zahl bedeutet, die Bedingung: 
IX) 0<ß. 
Die Nullmenge ist nach allem einem Abschnitte irgend einer 
wohlgeordneten Menge ähnlich. 
Des weiteren kann man nun als uneigentliche Menge eine jede 
Gesamtheit von der Beschaffenheit einführen, daß irgend eine wohl- 
geordnete Menge einem Abschnitte dieser uneigentlichen Menge ähn- 
lich wird. Eine solche uneigentliche Menge ist z. B. die Ge- 
samtheit W aller eigentlichen Ordnungszahlen. 1 ) 
Den (uneigentlichen) Ordnungstypus einer solchen Menge be- 
zeichnen wir mit Q und verwerten ihn ebenfalls als uneigentliche 
0 Es sei hier in dieser Weise zu der berüchtigten Menge W Stellung genommen. 
Die Besonderheit dieser Menge liegt meines Erachtens wesentlich darin, daß dieser Begriff 
bereits im Gebiete der formalen Logik ein un eigentliches Element darstellt. 
Wie jedes uneigentliche Element, so besitzt auch W nur einen Teil der Eigenschaften, 
die den entsprechenden eigentlichen Elementen zukommen. Vgl. Schoejstflies, Über 
die Stellung der Definition in der Axiomatik. 
