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Kaluza. 
Bei dem Beweise von Satz II u ) wird bereits von einem für die 
Theorie der wohlgeordneten Mengen besonders wichtigen Begriffe 
Gebrauch gemacht; es ist dies der Begriff des Abschnittes: 
A) Ein echter Teil einer Menge heißt ein „Abschnitt“, wenn mit 
jedem Elemente des Teiles auch alle ihm vorgeordneten 
Elemente der Menge dem Teile angehören. 
Daneben mag gleich die analoge Definition des Restes treten: 
R) Ein echter Teil einer Menge heißt ein „Rest“, wenn mit jedem 
Elemente des Teiles auch alle ihm nachgeordneten Elemente 
der Menge dem Teile angehören. 
Die hauptsächlichsten Abschnittssätze sind folgende: 
III) Sind zwei wohlgeordnete Mengen einander ähnlich, so existiert zu 
jedem Abschnitte der einen Menge ein ihm ähnlicher Abschnitt 
der anderen Menge. 
IY) Eine wohlgeordnete Menge ist keinem ihrer Abschnitte ähnlich. 
Y) Ist von zwei wohlgeordneten Mengen keine einem Abschnitte der 
anderen ähnlich, so sind beide Mengen einander ähnlich. 
Auf Grund dieser Sätze beantwortet sich das Trichotomie- 
pr ob lern für wohlgeordnete Mengen in folgender Weise: 
YI) Zwei wohlgeordnete Mengen sind entweder einander ähnlich, oder 
eine der beiden Mengen ist einem Abschnitte der anderen 
ähnlich. 
Dieser Satz gibt uns die Berechtigung, die Ordnungstypen endlicher 
bezw. unendlicher wohlgeordneter Mengen, die danach ein geordnetes 
Größen System bilden, als endliche bezw. unendliche „Ordnungs- 
zahlen“ 2 ) einzuführen. 
Der Yollständigkeit halber soll noch folgendes bemerkt werden: 
Läßt man anstelle der durch Bevorzugung der Abschnitte 
spezialisierten Teilung einer wohlgeordneten Menge die ganz all- 
gemeine Teilung in beliebige Teile treten, so ergeben sich analog wie 
bei den entsprechenden Aquivalenzfragen die folgenden vier einander 
abschließenden Fälle 
als logisch möglich: 
(11) 
M V N, N &M 
(10) 
M & jY,. N(d)M 
(01) 
M{$)N, N & M 
(00) 
N{$)M 
Dabei bedeuten 
M und N zwei wohlgeordnete Mengen; 
Zeichen „#“ besagt: „ähnlich einem echten Teile von“ und das 
(&) negiert diese Beziehung. 
2 ) Oder kurz ; ,Zahlen a . 
