Ein Problem der Mengenlehre. 
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G) Eine Menge heißt „gegengeordnet“, wenn jeder ihrer Teile 
ein letztes Element besitzt. 
E) Eine Menge heißt „geschlossen“, wenn jeder ihrer Teile ein 
erstes und ein letztes Element besitzt. 1 ) 
Aus diesen Festsetzungen fließen die Sätze: 
Im,) Eine wohlgeordnete Menge kann keinem ihrer Teile derart 
ähnlich sein, daß einem ihrer Elemente ein ihm vorgeordnetes 
entspricht. 
Ig) Eine gegengeordnete Menge kann keinem ihrer Teile derart 
ähnlich sein, daß einem ihrer Elemente ein ihm nach- 
geordnetes entspricht. 
I. e ) Eine geschlossene Menge kann keinem ihrer Teile derart ähnlich 
sein, daß einem ihrer Elemente ein von ihm verschiedenes 
entspricht. 
Aus dem letzten Satz folgt: 
IE) Eine geschlossene Menge kann keinem ihrer echten Teile ähnlich 
sein. Sie kann auch keinem ihrer echten Teile äquivalent, 
also nicht transfinit sein. 
Weiter setze man fest: 
TJ) Eine wohlgeordnete Menge heißt „offen“, wenn sie nicht gegen- 
geordnet ist. 
Man beweist dann den Satz: 
II u) Eine offene wohlgeordnete Menge ist einem ihrer echten Teile ähnlich. 
Infolgedessen ist sie auch einem ihrer echten Teile äquivalent, 
also transfinit. 
Offenbar gelten auch die Umkehrungen: 
II' e) Eine wohlgeordnete Menge, die keinem ihrer echten Teile ähnlich 
ist, ist geschlossen. 
II' u) Eine wohlgeordnete Menge, die einem ihrer echten Teile ähnlich 
ist, ist offen. 
Bei Voraussetzung des Wohlordnungs satzes ergeben sich die 
weiteren Umkehrungen: 
II"e) Eine nicht transfinite Menge (d. h. eine Menge, die keinem ihrer 
echten Teile äquivalent ist,) ist nach ihrer Wohlordnung ge- 
schlossen. 
II" u) Eine transfinite Menge ist nach ihrer Wohlordnung offen. 
So ergibt sich die Identität der Disjunktion geschlossen — offen 
mit der Disjunktion endlich — unendlich. 
b Oder: Eine wohlgeordnete Menge heißt „geschlossen“, wenn sie gleich- 
zeitig gegengeordnet ist. 
