Ist weiter m = 2, so folgt aus (25): 
( U 
y ~ 2 
(-D 
fl - 2 
y 2 
(/.t gerade) 
und demnach, indem u der Reihe nach = 4, 6, 8, . . gesetzt und die Gleichungen 
abwechselnd mit -j- 1 und — 1 multipliziert und dann addiert werden: 
y_ 2 = (— 1) 
1 
— 1 
d. i. nach Gleichung (3) (mit ff = 1): 
u — 2 
(28) y- 2 = (-1)” (M ><“-!)• 
Hiervon ausgehend gelangt man durch Induktion zu der Gleichung: 
U I u—m 
(29) y- »!==(— 1) 2 — 
Dieselbe läßt sich in folgender Art beweisen. Nehmen wir den Ausdruck (29) 
fl u — 1 fl— 2 u — 2 fl— 1 fi 
für y- m sowie für y\— m und y— m , d. h. für jeden unteren Index bei y , y und y 
als richtig an, und setzen die betreffenden Werte in (25) ein, so erhalten wir nach 
Fortlassung der gleichen Faktoren die Gleichung: 
(30) — 1) = ^ — — + — — 
dieselbe ist in der Tat richtig, denn sie geht aus (11) mittels der Substitutionen: 
a = 1, k = m — 1 , n = j-i — 1 
hervor. Nun stimmt (29) für m = 1, unter Rücksichtnahme auf (7), ferner für m = 
wenn wir die aus (5) folgende Gleichung 
(31) V'd.M) - -jr 
benutzen, sowie auch für m — 2 mit den Werten (26), bez. (27) und (28) überein; 
12 3 3 
also ist (29) zunächst für y~i, y~ 2 , y~ 1 , /- 3 richtig, und weiter folgt dann die 
4 
Richtigkeit von (29) für y_ 2 aus (25), indem man (30) hinzunimmt. In gleicher Art 
5 
wird (29) für y~ m und so nach und nach allgemein bewiesen. 
§ 4. 
Die Koeffizienten der niclit-negativen Potenzen von x. 
Die Ableitung der Koeffizienten der positiven Potenzen von x, mit Einschluß 
von x° gelangt auf heuristisch ziemlich umständlichem Wege zu folgendem Resultat, 
das sich allerdings a posteriori in Kürze beweisen läßt: 
