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wo 
(36) c 2i _! = -— {2 k)[ J B k k = 1, 2, 3, • • • 
Setzen wir die Reihen aus Gleichung (23) und deren Differentialquotienten, 
sowie aus (35) in (34) ein und vergleichen beiderseits die Koeffizienten von x 2k ~^~ 1 , 
so gelangen wir nach geringen Reduktionen zu folgender Gleichung: 
P P f 1 P 
ky2k— fl -j“ (Ci /2i — fl — 2 "f- C 3 y 2 k — /u — 4 -j- C 5 72k- fi -6 
(37) ^ 
<'2k - 3 72 — /u 4- C 2 k — l) = 0. 
fl [i fl 
Diese Gleichung, aus welcher successive (mit k = 1, 2, 3, ■ • •) 72 -/ 1 , 7 a— p, 7 &—p • • ■ 
durch die C/,, also durch die Bernoullischen Zahlen gefunden werden können, läßt noch 
eine besondere Deutung zu. Setzen wir nämlich 
(38) 
y- 2 h — fi = Ch,C 2 h — 1 
so geht sie, bei umgekehrter Anordnung, in 
Sh 
ff 
(39) Sk -}- Gi Sk-i + C 2 Sk-2 4 Ck-i si -f- A C k — 0 
über. Dies ist aber die bekannte Neivtonsche Identität zwischen den Koeffizienten 
der Gleichung 
X n 4" Ci X n ~ X 4 “ G 2 X n ~ 2 -]-•••+ Cn—l x -f Gn = 0 
und den Potenzsummen ihrer Wurzeln. 
Man kann also die Produkte fic 1, gc 3, g c-, etc. als Potenz summen der Wurzeln 
der Gleichung 
fi fi 
x n -\ - y 2 -[iX n - 1J r y 4 -fix n ~ 2 -\ \-y 2 n-g = 0 
ansehen. Wird die Gleichung (39) nach den su aufgelöst ( Waringsclie Formeln) so 
ergeben sich independente Darstellungen der Bermoullischen Zahlen mit Hilfe der 
Funktionen i}<(a,k,n ); wird sie nach den Cu aufgelöst (siehe Serret Algebre super, t. I, 
ff 
§ 201), so findet man die 72 k- g mit Hilfe der Bernoullischen Zahlen und es lassen 
sich demnach auch die Funktionen (siehe Gleichung (29)) i/41,ff — 2 7c — l,ff — 1) 
durch die Bernoullischen Zahlen summieren. 
Die allgemeine Auflösung der Gleichungen (39) nach den C* und die einfachsten 
Spezialfälle sind: 
(40) 
(_ 1 )«+ß+r+---s“sgs$ ... 
•■•«!/?!/!••• 
1 
wo a, /?, y, . . . auf alle mögliche Arten als nicht-negative ganzzahlige Auflösungen 
der Gleichung 
a -ff 2 ß -(- 3 y -j- • • • = k 
zu bestimmen sind; 
