12 
Die ganzen Potenzen der Cosecante. 
Wir unterscheiden bei den Koeffizienten der Cosecanten-Entwickelung, wie 
bei der Cotangente, zwei Darstellungsarten, eine , welche für die Koeffizienten der 
positiven Potenzen des Arguments (cc) andersartige Formeln liefert, als für diejenigen 
der negativen Potenzen (vgl. §§ 3 und 4) und eine andere , welche die Koeffizienten 
von demjenigen der niedrigsten Potenz an successive auseinander entwickelt (vgl. § 5), 
und wir wenden uns hier zuerst dieser letzteren Darstellungsart zu. 
§ 6 
Die Koeffizienten im Allgemeinen. 
Es sei 
(42) cosec^ x = -j- £2-^ x ~^ +2 -f- -f- C 6 -,u x~t- l + & 4 ~ 
also für p = 1, wofür wir den oberen Index mitunter weglassen wollen: 
H 
(43) 
i , 2 (2 2t ~ 1 1) D 
b2k — 1 = b2 4 - 1 = / c\ 7 ,\ t -D* = 
(2 k)\ 
(2 k)l ’ 
wenn wir die Abküi'zung: 
(44) 
einführen. So ist £i = — , ?3 
b 
JK = 2 (2 2 
7 
4 — 1 
-> Gö = 
l)ßi 
31 
360’ " u 15120 
(44)* C'2 k — 1 = 2 2k ~ 1 &4-L 
Durch Differentiation entsteht: 
d cosec ‘“re 
; auch ist: 
(45) 
d x 
= — ,u cosec Px cot x. 
Setzen wir nun zur Abkürzung 
(46) 
1 
cot X — bl X — &3 X 3 — &5 x 5 — 
X 
sodafi also (siehe Gleichungen (22)): 
(47) &24-1 = 
r-2/c-i = 
2 2k B k 
( 2 k)l 
(&i =■ j, h = h = so folgt aus (45): 
k > 1. 
l-i x~^- 1J r (ji - 2) ? 2 _ x~t l + l + {n — 4) ? 4 _„ x ~/*+ 3 H f- {(i— 2 k) £ 24 _„ 3- ^ +24-1 + 
r n [i 
n (x-/*-{- x-^+ 2 -f r 
u 
4 — 
+ ) 
X 
— &i x — &3 x 3 — • • b‘2 k — 1 x 2k ~ l — • • • ^ 
und daraus durch Koeffizientenvergleichung 
(iu — 2 7c) £ 
i _ ( 
■2 k — u t l \ 
u u u 
-2k — (l ^1 -2k— (1 — 2 .3 -24 — ^ — 4' 
l r 
^24 — 3 -2 
— (I ^24-1 ^ 
