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§ 7. 
Die Koeffizienten der nicht-negativen Potenzen. 
Differentiieren wir die Gleichung (45) noch einmal nach x, so gelangen wir 
ohne Schwierigkeit zu folgender Gleichung: 
d 2 cosec ,u x 
(51) 
g ( g 4- 1) cosec‘“+ 2 x — g 2 coseo 11 x 4- 
dx 2 
und ziehen wir zwei aufeinander folgende Glieder der Reihe für cosec x (siehe (42)): 
g ,a /r-j -2 
(4 £C m -f- Cw+ 2 x m + 2 sowie ein Glied aus der Reihe für rosec |W + 2 x, nämlich Q m x m in 
Betracht, so gelangen wir durch Vergleichung der Koeffizienten von x m zu 
(52) 
oder 
(53) 
g- 1-2 g g 
g (l l -f 1) Qm = g 2 4n + (m 4- 1) (m 4- 2) £m + 2 
/G-2 
4» = 
/< 4' i 
(m 4- 1) («* + 2) (f 
4 »i + 2* 
(p 4- 1) 
Diese Gleichung gilt, mag m positiv, null oder negativ sein, nur werde daran 
erinnert, daß in jedem Falle g -j - m eine gerade Zahl ist; wir nehmen ni zuerst als 
niclit-negativ an. 
g 
Unsere Absicht ist, L m durch die Koeffizienten der Entwickelung für cosec x 
oder für cosec 2 x linear auszudrücken, und wir setzen 
1. g und m ungerade voraus. Für g — 1 folgt aus (53): 
ß 1- -r i (i» + l)(i»4-2) f- 
bm — g - m I \ 2 ~ m + 2 , 
also ist 
3 
Qm + 2 
(m + 3)(m + 4) \ 
1 o bm + 4, 
demnach wieder aus (53) mit g = 3*): 
Lm = 
1.3b 
2.4"” 
+ <*“ +■ o ( ,B + 2 > (4i + adn) ^ 
m -|- 2 
(m 4- 1) • • < • • (»» "f 4) l 
1 .2.3.4 
bwi+4 
1 .3 
2.4 
|?m 4" ( w "I" 1) ( m 4" 2) (1 4" gf) 4n + 2 4“ ( m “h 1) • • • • ( m ~f" 4) • pTg2 £»» + J > 
und nach einigen weiteren Beispielen gelangt man vermutungsweise zu der An- 
nahme, in deren Ausdruck die Bezeichnung (12) benutzt ist: 
(54) L = | ^ + (m + 1} (m + 2) Wl (1 ’ - 2) ^ »*+ 2 
4- ( m 4" 1) ■ ■ *4 ■ ■ ( m 4" 4) l I J 2 (1 , g — 2) 4« +4 -j - (wj -j- 1) ■ ■ <b • • (w 4“ 6) ^3 (1) g 2) 4k +6 
"4 ■ • • “I - ( m i) • • <d • • ( m 4" g — 1) l ?g — i (1, t l 2) Cm+jM — i 
2 
*) Für Faktoriellen gebrauche ich öfter die Abkürzungen: 
a(a-f- l)(a -j- 2) • • • b = a • ■ <C • • b a (a-f 2)(a + 4) • • ■ b = a ■ • <C<C • b 
a{a — l)(a — 2) • • • b = a •■]>•• 6 a(a — 2)(« — 4) • • ■ b — a ■ • >> • • b. 
