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ist einfach: indem m = 5 festgehalten und u nacheinander = 7, 9, 11, . . . gesetzt 
wird, erschließt man daraus successive die Richtigkeit von (60) für m = 5 und 
jU = 9, 11, 13 etc. und beliebige ungerade Zahl. — Jetzt setzt man m = 7 und 
successive /i = 7, 9, 11 u. s. w. in (57) und folgert in gleicher Weise wie bei m — 5 
die Richtigkeit von (60) für m — 7 und beliebiges f.i, und nach derselben Methode 
beweist man die Ällgemeingültigkeit dieser Gleichung. 
Nunmehr setzen wir in (57) m = 4 und benutzen die zweite (58), dadurch wird: 
r +2 = i» £ 2.3 2 . 4 ... (fi — 2) 
b + 1' -4 H 3 . 5 ...(/< + 1) 
Fügen wir dieser Gleichung andere hinzu, indem wir // — 2, n — 4, ... 4 statt u 
,u 2 6 
setzen, eliminieren C 4 , C_ 4 , . . ., C _4 und setzen schließlich ,« — 2 statt /<, so er- 
halten wir: 
? o o 2 ••<<•• (^ 2) j| 1_, 1 L 
- 4 3--<<--Gt* — 1) ((,« — 2 ) 2 “ 1 (,u--4) 2 ~ r ' ^6 2 ‘ t 4 2 ' r 2 2 j 
oder : 
9 4 ('</ 9 ) 
g -» = 3! y - (2 '' ( - 2) 
und diesem Resultat analog ist auch allgemein : 
9 . 4 . . (u — 2) 
(62) • £-m = (m-1) ! wr-v 17 — TT ^-2 (2, j<-2) 
3-0 — 1) —ä“ 
ju und m gerade. 
Der Beweis ist demjenigen der Gleichung (60) ganz entsprechend und bedarf 
deshalb keiner näheren Ausführung. 
Hält man die Gleichungen (60) und (62) mit den Gleichungen (54) und (56) 
zusammen, so erkennt man, daß, wie bei der Cotangente, so auch bei der Cosecaute 
die Koeffizienten der positiven Potenzen von x sich mit Hilfe derjenigen der nega- 
tiven Potenzen ausdrücken lassen. 
§ 9. 
Neue Formeln für die Bernoullischen Zahlen. 
Die entwickelten Formeln lassen eine interessante Anwendung für die Theorie 
der Bernoullischen Zahlen zu. Nehmen wir [i als ungerade an, so gelten die 
Gleichungen 
cosec x = x -1 -f- £1 x -j- £3 x 3 -j- • • • -j- tfj.— ixt*~ i -f- -j 
cosec^x = x~t* 4"^2-^a5” iU+2 + ( ?4-^a; -| “ +4 4 b C_ 3 a; _3 -f l-ix~ x -f- Z,ix 4 
^ 1 [A - 1- 1 -|- 1 U -J- 1 -|- 1 
C0Sec^ + X X = X~l x ~ 1 + 'Ci-fiX~^ + l -j- ts-p X-P + 3 -f- f- ?-2« -2 + ?0 + x 2 -j 
Multiplizieren wir die beiden ersten und vergleichen die Koeffizienten von x ~~ 2 
in ihrem Produkt mit dem Koeffizienten derselben Potenz in der dritten Gleichung, 
so erhalten wir: 
