und somit gewinnen wir die Formel: 
VV /I 1 \ 2 
(70) 2j l[S m-!c-2 (1, 2 TO — 5) Bm-Jfc = (2 m - 3) 2 - F m - ij = JA 
i=0 
in welcher der Faktor von Bi weil dafür der Index von l F negativ ist, nach (16) 
verschwindet, so daß Bi eliminiert ist und die Summe nur bis k — m — 2 zu erstrecken 
wäre. Lassen wir jedoch die obere Grenze m — 1 noch weiter bestehen, so über- 
zeugen wir uns leicht, daß die nächste in gleicher Art abgeleitete Gleichung die folgende: 
(71) 
m — 1 
V 
Je = 0 
2 2 3 
(1, 2to— 7)B„,_i = (2 TO 5) 2 {Fm—Fm-i) = F„, 
sein wird. Hierin verschwinden links die beiden letzten Glieder: So gelangt man 
nach beliebig vielen, etwa r, Operationen (vom Anfang gezählt) zu der Gleichung 
(72) 
m — 1 
y B ,-t-r(l, 2 to — 2r — 1) B 
r—1 r — 1 
m — k 
(2 to — 2 r -j- 1 ) a {F m — jP,„ _ i) = F m 
k= o 
oder, wenn man jetzt links nur die geltenden Glieder stehen läßt: 
(73) 
V 
*P m - k - r (1, 2 m — 2 r — 1) B,„_* = F,„ 
k = 0 
Diese Gleichung enthält links also nur die Bernoullischen Zahlen B m , B m \ . 
Bm - 2 bis B r herab, und zwar sämtlich mit positiven Koeffizienten versehen.*) 
Wir wenden uns nunmehr der rechten Seite zu. Es ist: 
( 68 ) 
daher 
( 2 . 4 . . ■ (2 to ) V 1 
VI .3. . . (2w— 1)/ 2 to + 1’ 
/2.4. . . (2to— 2)y 1 
" !_1 \1 .3 . . . (2 to — 3)/ ‘ 2 hI 1 ’ 
folglich nach (69) 
(74, ,2»- «■ w.- A-d = A - 
sodaß an Stelle von (65) die etwas einfachere Gleichung: 
m — 1 
(75) ^ Wm - k - i( l » 2 to— 3)B W _* 
k — 0 
gesetzt werden kann. 
Weiter ist 
3)/ 2w+l ’ 
/2 . 4 . . . (2 Hi — 2)Y 
VI . 3 . . . (2 to — 3)/ ' 
2 
3)/ 2to+1 
(2 m- 
o\2 t t? i, ^ £ ^2.4. . . (2 to — 4)^ 2 ( (2 to — 2) 2 (2TO-3A 
-3, (J5V.-Ji.-0 = Ä. = b.3... (2w _W Us+T “ 2m — 1 / 
und durch gewöhnliche Division, bei welcher die ganzen Funktionen sich in der 
Differenz fortheben: 
*) Den Ausdruck für die rechte Seite gibt die spätere Gleichung (80). 
