Das eben gewonnene Resultat beruht bezüglich seines Außenfaktors auf einem 
Analogie- Schluß*)', ein solcher ist in heuristischer Hinsicht einwandfrei, doch muß, 
bei strenger Behandlung, das Resultat noch direkt bewiesen werden. Das soll jetzt 
geschehen. Aus (81) folgt für r — m: 
m — 1 m — t m 
(85) F m — F m - 1 - - F m , 
m — 1 
worin F m durch (83) gegeben ist, und es muß gezeigt werden, daß der Gleichung (85) 
m m — 1 
Genüge geschieht, wenn darin für F,„ der Ausdruck (84) und für F m — t der daraus 
mit m — 1 statt m sich ergebende eingesetzt wird. Zu dem Zweck führen wir zwei 
m — 1 m — 1 
Funktionen O m und 0,„—i ein, deren Differenz wir bilden wollen und zwar: 
111 — 1 
0m = (v -j- 1)“ 
m — 1 
0 m _t = V A 
i Ko 
Kt 
) v -(-2 m 
v -\- 2 m — 2 
) Ko 
Kt 
| v -[- 2m — 2 
v — j— 2 m — 4 
K« 
+ ( u+4 ’ 
-r- . . . I ( IV»— 2 % m — 2 | 
v -j- 2m — 6 + ^ — j— 2\ 
worin 
E h = (1.3... (2m — 2h — 3)) 2 C h (2 2 , (2m — 2h - 2) 2 ) . 
Man zeigt nun (nach Art des Beweises der Gleichung (80)), daß die beiden 
Tn — 1 in — 1 
Funktionen 0 m : v % und 0 m — i : v 2 nach fallenden Potenzen von v entwickelt mit den- 
selben Gliedern: 
+ (— l) w 'Km- 2 ) ■ - ((2m — 2) Ko— (2m- 4) Zid t • • • + (— l) m 2 K m -ß). ^ 
m — 1 m — 1 
beginnen, und daß also 0 m — 0m — i eine echt gebrochene Funktion von v ist, daß 
( 2 
etc. in den beiden Funktionen 
(Ko — Ki 
daher die unechten Brüche -- ' ! ■ etc., 
v -j- 2m ~ uv/ ’’ v -j— 2 m — 2 
m — 1 tu — 1 
0 m und 0 m — l zum Zweck der Differenzbildung durch ihre Divisionsreste ersetzt 
werden können, und findet dann nach Einsetzung der Werte für die K, die Gleichung 
( 86 ) 
m — 1 m — 1 
0„ 
1 
0m - 1 = — ®m , 
m tu — 1 
wenn wir unter 0 m diejenige Funktion verstehen, die aus 0 m — \ entsteht, wenn darin 
(natürlich auch in den Kß m + 1 an Stelle von m gesetzt wird. Aber man sieht 
m — 1 m — 1 in m m — 1 in — 1 
sofort, daß für v — 1 : 0 rn — F m , 0 m = F m , 0 m —i — F m - 1 ; also geht dann (86) 
in die zu beweisende Gleichung (85) über. 
Wir hatten nun 
in — r 
(73) ^ (1, 2 m — 2r — 1) II .= F m 
1c — 0 
r 
und darin ist F m durch (80) gegeben. 
*) Wie etwa a° = 1 oder 0! = 1 abgeleitet "wird. 
