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Setzen wir r = m — 1, so wird 
1 
m — 1 
in — k 
= F, 
in 7 
k = 0 
d. i. nach (14) und (15) 
(87) 
Würden wir weiter in (73) r = in und l I \ > (1 , — 1) nach (15) gleich 1, also 
111 — 1 
Um ~\~ Bm — 1 == F m , 
( 88 ) 
B„ = F m 
setzen, so wäre dies illegitim, denn die Gleichung (15) ist nur unter Voraussetzung 
eines positiven n abgeleitet*). 
Dennoch ist die Gleichung (88) richtig, wie aus folgender Betrachtung her- 
vorgeht: Wir betrachten B„ ( als eine unbekannte Funktion von in, und B, (t — i als 
dieselbe Funktion von in — 1, und suchen diese Funktionen so zu bestimmen, daß 
sie der Differenzengleichung (87), in welcher die rechte Seite durch (83) gegeben ist, 
genügen. Zu dem Zweck führen wir statt B ni eine andere Funktion cp ( m ) durch 
die Gleichungen 
m m - i 
(89) B, )( = F m -{- cp (m), B m _i -= F m -x-\- cp(m—l) 
ein. Dann ist nach (87) 
in m — L in — 1 
Fm -f- Fm — 1 -\- cp ipi) -(-■ cp (in — 1) = F m , 
also wegen (85) 
cp (in) -j- cp (in — 1) = 0. 
Die vollständige Lösung dieser Differenzengleichung ist 
cp ( m ) = ( — l) m G, 
worin C eine willkürliche Konstante ist, folglich ist nach (89) 
m 
B« = F ni -)- ( — 1)'“ C , 
und haben wir nur nötig, die Konstante durch einen Spezialfall zu bestimmen. Für 
m = 1 ist nach (84), worin die Gliederanzahl = in = 1 ist, und das letzte Glied 
mit dem ersten in der Tat seinem Werte nach zusammenfällt: 
A = 1 
und nach (65) für in — 1 : 
also ist 
3 ’ 
Bi + l = f, IS. = 
C = 0 
*) Würde man etwa in (13) a = n — l setzen : 
*'*n,i) = q, kG, - i)+ *'*_i(i,-D, 
so stünden rechts zwei nicht definierte Funktionen, ebenso in dem Spezialfall Je — 1 . 
