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und daher (88) bewiesen. Wir haben also für B m die independente Darstellung: 
(l.3 ...(2 m — 2li — l)) 2 C h (2 2 , (2 m — 2 h) 2 ) 
(90) 
oder auch 
(90)* 
m — 1 
"V 
B,« = 2i (- -- 
h = 0 
2 m -f- 1 — 2 h 
H 
Mt — 1 
2 2ft 0 - 3 ... (2 m — 2h— l)) 3 Ck (l 2 , (m — /i) 2 ) 
h = 0 
2m4- 1 — 2 /i 
§ 10. 
Analogon und neuer Beweis des v. Stand tsclien Lehrsatzes. 
Zwischen den B,„ gilt ein dem v. Staudtschen Theorem für die Bernoullischen 
Zahlen ähnlicher Lehrsatz. Verstehen wir unter den ungeraden Staudtschen Prim- 
zahlen für 2 in diejenigen ungeraden Primzahlen, deren um 1 kleinere Nachbarn 
2 in teilen, und bezeichnen sie mit pi , p 2, pz . . ., so lautet der Satz: 
Der Cosecanten- Koeffizient B„ t ist gleich einer ganzen Zahl vermehrt oder ver- 
mindert, je nachdem m ungerade oder gerade ist, um die Summe der reciproken Werte 
aller ungeraden Staudtschen Primzahlen für 2 m; in Zeichen 
(91) B,b = Q m -\~ ( — l) ,ii + 1 ( \ 1 
\p 1 P2 P3 / 
worin G m eine ganze Zahl ist. 
Für den Beweis bedürfen wir einiger Hilfssätze: 
1) Wenn 2r-j-l — p eine Primzahl ist, so ist 
(92) (1 . 3 . 5 . . . (2r — 1 )) 2 = (— 1Y+ 1 (mod.p). 
Beiveis. Nach dem Wilsonschen Satze ist: 
1 . 2 . 3 ... (2 r) = — 1 (mod. p), 
ferner ist: 
1 = — 2r \ 
3 = _ (2r— 2) 
5 = (2r - 4) - (mod. p ) ; 
I 
2 r — 1 = — 2 J 
das Produkt dieser r - 1- 1 Kongruenzen gibt den Satz. 
2) Wenn 2 r -j- 1 keine Primzahl ist, so ist (1 . 3 . 5 ... (2 r — l)) 2 dureh 2 r + 1 
teilbar. 
Beweis. Ist 2r-j-l ein Primzahl-Quadrat, so ist ]/ 2r-j- 1 unter den Zahlen 1,3, 
5 ... 2 r — 1 enthalten, also geht 2r -j- 1 in (1.3.5... (2 r — l)) 2 auf; anderenfalls 
teile man 2r -j- 1 in zwei Faktoren: dann ist der größere derselben kleiner als 2 r — -1, 
und dieser sowie der kleinere finden sich unter den Zahlen 1, 3, 5, . . ., 2r — 1*), ihr 
Produkt geht also in (1.3.5... (2 r — l)) 2 auf. 
) Ist 2r -\- 1 keine Primzahl und r i> 4, so ist schon 1 , 3 , 5 . . . (2r — 1) durch 2r + 1 teilbar. 
