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3) Wenn 2r-f 1 = P eine Primzahl ist, so ist die Summe der Kombinationen 
mit Wiederholungen in der q tca Klasse der Elemente l 2 , 2 2 , 3 2 , . . . r 2 kongruent 1 
oder 0 für den Modul p, je nachdem q ein ganzes Vielfaches von r ist oder nicht ist. 
Beweis. Bedeutet C q (a, b, ... f, g) dasselbe wie in Gleichung (82), so ist: 
CO 
((1 — ax) (1 — bx) ... ( 1 — fx ) (1 — gx)) = 1 (a, b, . . . f, g) x q ; 
2 = 1 
ist r die Anzahl der Zahlen a, b, . . . f, g und setzen wir 
(1 — ax) (1 — bx) ... (1 — gx) = 1 — C\X -(- C 2 X 2 =F . . . -j- ( — l) r c r x r , 
so ist C q (a, b, . . . f, g) der Koeffizient von x q im Quotienten 1 : (1 — C\ x dz . . . -f- ( — \) r c r x r ). 
Ist nun q<Cr, so kommen in diesem Koeffizienten nur o , vor, deren Index li<r ist; 
ist q>r, aber kein ganzes Vielfaches von r, so sind die im Koeffizienten vorkommenden 
Potenzen von c r immer mit anderen c* (h < r) multipliziert; ist endlich q = r, 2?*, 3 r, . . . , so 
beginnt der Koeffizient von x ' r mit ( — 1 ) r + 1 c r , von x?' mit cv, von x 1 mit ( — l) r ’'" 1 cv etc., 
also überhaupt von x' mit ( — 1 ) während die außerdem vorkommenden 
Potenzen von c r mit Produkten anderer Ch (h < r) multipliziert sind. Drücken wir 
nuxr die Cu durch die Potenzsummen Si, S 2 , S3 . . . der a, b, . . . /, g aus (siehe die 
Gleichungen (40) und (40)* mit Ch = ( — 1 ) h (' 1 ,) , so genügt zunächst, wenn f und ff 
Zeichen für ganze, aber nicht ganzzahlige, Funktionen sind, für c* (h < r) die Form 
(93) c h = f (s 1; s 2 , . . . s,,) h<r , 
während wir für c r genauer schreiben : 
(94) (— l) r + 1 Cr = ~ Sr + ( p (si, S 2 , . . . S r -1 ) ■ 
Wir machen jetzt die Anwendung auf den hier vorliegenden Fall, indem wir 
für a, b, ... g die Zahlen l 2 , 2 2 , 3 2 , . . . r 2 annehmen. Dann ist (für li < r) : 
Sh = l 2ft 4- 2 2/l + 3 2/l -1 r 2h . 
Da nun 2/t nicht durch p — 1 = 2 r geteilt wird, so ist nach einem von 
v. Staudt herrührenden Satze*) 
1 2A 2 2/l -j- • • • -j- r 2h “|- (r -j- 1) 2, ‘ -j \- (2 r) 2h = 0 (mod. p), 
es ist aber 
r -j- 1 = — r \ 
r + 2 = — (r — 1)( 
; > (mod. p ) ; 
2r = — 1 J 
werden diese Kongruenzen auf die (2 h) te Potenz erhoben und addiert, so folgt 
2 Si, = 0 (mod. p) , 
also ist auch: 
(96) Sh = 0 (mod. p) h<r . 
*) Bei Gelegenheit seines Theorems über die Bernoullischen Zahlen abgeleitet, siehe J. f. Math. 
Bd. 21. S. 372, oder meine Vorlesungen über die Bernoullischen Zahlen (Berlin 1893) § 16, S. 135, Gl. (10). 
