Ist 2 r -f- 1 eine zusammengesetzte Zahl, so geht diese nach dem zweiten 
Hilfssatz in (1.3.5... (2 r — l)) 2 auf, also ist P/, eine ganze Zahl. 
Ist 2 r — (— 1 eine Primzahl derart, daß 2 m nicht durch 2 r, also auch m nicht 
durch r und daher auch li = m — r nicht durch r geteilt wird, so geht nach (99) 
2r-f-l in Cj,( l 2 , 2 2 , . . . r 2 ) auf, also ist dann wieder Pn eine ganze Zahl. 
Ist endlich 2r -\- 1 = p eine Staudtsche Primzahl, d. h. eine Primzahl derart, 
daß 2m durch 2 r, also auch h durch r geteilt wird, so ist nach (100): 
C h (l 2 , 2 2 , . . . r 2 ) = 1 ( mod . p), 
außerdem nach (92): 
(1.3.5... (2 r — 1 )) 2 = (— D’-d-i (mod. ; 
und nach dem Fermat sehen Satz 
2 2,i = 1 (mod. p), 
folglich 
Daher ist P/, gleich einer ganzen Zahl -f- ( — 1) TO + 1 ■ — . 
(2 r -(- 1) Ph = ( — l) 7i + , '+ 1 = ( — l)”^ 1 (mod. p). 
1 
Passen wir nun sämtliche ganzzahlige P/, und die ganzzahligen Bestandteile 
der anderen Pi, in den Ausdruck G m zusammen und bedenken, daß alle imgeraden 
Staudtschen Primzahlen für 2m in der Zahlenreihe 3, 5, 7, . . . , 2 m -|- 1 enthalten sind, 
so sehen wir, daß die Gleichung (91), also unser Satz bewiesen ist. 
Mit Hülfe desselben läßt sich noch ein Beweis des Staudtschen Satzes geben. 
Zuvörderst folgt aus (90)*, daß B m , wenn die Brüche auf gleiche Benennung gebracht 
werden, ein Bruch mit ungeradem Nenner ist, — - aber auch mit ungeradem Zähler: 
denn für h > 0 ist P/, wegen des Faktors 2 2?i eine ganze gerade Zahl oder ein Bruch 
mit geradem Zähler und ungeradem Nenner, Po ist aber eine ungerade ganze Zahl 
oder ein Bruch mit ungeradem Zähler und ungeradem Nenner. Nach (44) ist: 
= 2 ( 2 2 " i_1 — 1 ) B m , 
also muß 2 B m ebenfalls ein Bruch mit ungeradem Zähler und ungeradem Nenner 
sein, folglich B,„ ein Bruch, dessen Zähler ungerade, und dessen Nenner das Doppelte 
einer ungeraden Zahl ist. 
Ferner ist 
(101) B,h + 2 2m B m = 2 (2 2 ”‘ — 1) B m ; 
dies ist, wie schon Eider bekannt war, eine ganze Zahl*), also muß B m mit 2 2 ”' B m , 
also auch mit 2 B m , denselben Nenner haben. Zerlegen wir also B m und B m in 
Partialbrüche und verstehen unter G m , H m , K m ganze Zahlen, so ist B m von der Form 
B m = H m 
1 
2 
, «1 ; «2 , «3 | 
1 
Pi P2 Pa 
'*) Siehe meine Vorlesungen über die Bernoullischen Zahlen etc. § 15 (S. 117) Gl. (2). 
