Um dies zu beweisen, schicke ich folgendes voraus. Soll eine gegebene in der Ebene a liegende 
Pascalsche Figur durch Projektion einer Raumfigur entstehen — die wir zunächst im i? 3 annehmen — , 
so muss es möglich sein, zu der Figur von a die zugehörige Raumfigur konstruktiv zu bestimmen, wie 
dies für die Desarguessche Figur ohne Mühe ausgeführt werden kann. Wenn nun zunächst jeder Punkt 
P und jede Gerade g der ebenen Figur Schnitt mit einer Geraden p‘ resp. einer Ebene y‘ der Raumfigur 
ist, so muss für die vereinigte Lage von P und g die vereinigte Lage von p‘ und y‘ den 
alleinigen Beweisgrund abgeben. Demgemäss ist die bezügliche Raumfigur zu bestimmen. 
Analoge Bedeutung hat die Frage, ob die Pascalsche Figur aus dem B n durch Projektion 
beweisbar ist. 
3. Man kann die Pascalsche Figur bekanntlich als einen Cyklus von drei einander ein- und 
umschriebenen Dreiecken ABC, A x B x C\ , A P>. 2 C 2 auffassen, und zwar so, dass A j auf n = D C , 
A 2 auf a x = Bi C t , und A wieder auf a 2 liegt 11 • s - w. Nun seien a‘, ß‘, y‘ die Ebenen, die von a in 
a, b, c geschnitten werden, S die von ihnen gebildete Ecke und a\, b\, e‘ x die Geraden, deren Schnitte 
Ai, Bi, Ci sind. Da mit a, B x mit b und Ci mit c vereinigt liegt, so muss auch a\ mit b‘ x mit ß‘ 
und c'i mit y‘ vereinigt liegen. Nun bilden aber BiCi, C x A x und A X B X je eine Gerade a x , b x , c x der 
Pascalschen Figur, also bilden je zwei der Geraden a‘ x , b‘ x , c‘ x eine Ebene cc‘ x , ß‘ x , y‘ x , sie gehen daher 
sämthch durch S und bilden eine dreiseitige Ecke S x (u‘ x ß‘ x y\) = S («d ß‘ x y‘ x ) , die der Ecke S («' ß‘ y‘) 
eingeschrieben ist. In derselben Weise kann man weiter schliessen; die Raumfigur, deren Schnitt mit a 
die Pascalsche Figur liefert, besteht also aus einem Cyklus von drei einander ein- und umschriebenen 
Dreikanten. Sie ist daher die in den Raum projizierte Pascalsche Figur. 
Analog liegen die Verhältnisse für den B n . Die Ebenen ß‘, y‘ verwandeln sich in diesem Fall 
in drei Räume J8‘ 1; die einen und denselben R ' n _ ,, gemein haben, der 8 n _ 3 heissen möge. Die a\ , b' x , c‘ x 
gehen in JS' W _. 2 über, so dass a‘ x mit «' vereinigt liegt und je zwei dieser R ' n _ 2 demselben R‘ n , an- 
gehören. Dies ist nur so möglich, dass sie sämtlich den obigen S n __ 3 enthalten; die Raumfigur, deren 
Schnitt mit a die ebene Pascalsche Figur liefert, ist also wieder die Projektion dieser Figur aus dem S n _ 3 . 
Die räumliche Figur der drei einander ein- und umgeschriebenen Dreikante im r 3 ist nichts 
anderes, als das dualistische Analogon der ebenen Pascalschen Figur im Bündel; sie kann 
daher unmöglich einen Beweis für die ebene Figur liefern. Analog verhält es sich mit der entsprechenden 
Figur des B n 
4. Es bleibt noch zu prüfen, ob einer oder mehrere Grundpunkte der räumlichen Figur in die 
Ebene a resp. in Punkte der Pascalschen Figur hineinfallen können. Wenn dann in dieser P mit g ver- 
einigt liegt, so kann erstens P ein Grundpunkt sein, während g Schnitt mit einer Ebene y‘ ist, oder 
aber es ist g nicht Schnitt mit einer räumlichen Ebene, wohl aber P Schnitt mit einer Geraden p‘. Im 
ersten Fall liegt P immer noch in y\ während im zweiten Fall g und p‘ sich schneiden müssen. Davon, 
dass weder P noch g Schnitte mit räumlichen Elementen p‘, y‘ sind, ist abzusehen, weil alsdann die ver- 
einigte Lage nicht mehr Folge von Verknüpfungsaxiomen ist. 
Ehe ich dies untersuche, bemerke ich, dass sich die Pascalsche Figur auf mannigfache Weise als 
Cyklus von drei einander ein- und umgeschriebenen Dreiecken auffassen lässt. 1 ) Nennt man zwei Punkte, 
die in dieselbe Gerade fallen, verbundene Punkte, so können je drei verbundene Punkte, die nicht auf 
einer Geraden liegen, ein solches Dreieck abgeben. 
Ist zunächt nur ein Punkt von a ein räumlicher Grundpunkt, so sei dies A. Dann sind die 
Seiten a, b, c Schnittlinien von a mit drei Ebenen ß‘, y‘, die wieder eine Ecke S bestimmen. Ferner 
bestimmen, wie im Hauptfall, A x , B x , C x eine Ecke S x , die S eingeschrieben ist, und A 2 , Po, C 2 eine Ecke 
S- 2 , die S x eingeschrieben, und wie leicht ersichtlich, S umschrieben ist. 
5. Sind zwei Punkte von <x räumliche Grundpunkte, so können sie verbunden sein oder nicht. 
Im ersten Fall können wir sie als Punkte desselben Dreiecks, z. B. als B und C wählen. . Alsdann be- 
stimmen A x , B x , C x und A- 2 , B 2 , C 2 je eine Ecke 8 X und $ 2 > so ^ ass $2 in $1 eingeschrieben ist. Ferner 
bestimmen AB und AC zwei Ebenen y‘ und ß‘, die c\ resp. enthalten, es geht also a‘ = (ß‘ y‘) durch 
S x == S 2 . Da nun n\ und BC sich schneiden, so bilden sie eine Ebene der räumlichen Figur, die eben- 
falls durch S x = S 2 geht, wir gelangen also ebenfalls zu drei einander ein- und umschriebenen Dreikanten. 
I) Vgl. eine Arbeit des Verfassers in den Math. Ann. Bd, 31, S. 59, 
