Über Dreiecksgeometrie. 
(Nach einem am 9. November 1911 in der mathematisch-physikalischen 
Sektion gehaltenen Vortrag.) 
Von Geh. Reg.-Rat Prof. Dr. Fr. Meyer. 
In seinem Erlanger Programm (1872) charakterisiert F. Klein 
die elementare Geometrie dahin, daß sie sich mit denjenigen Eigen- 
schaften der Figuren beschäftigt, die den Operationen der ,, Haupt- 
gruppe“ gegenüber ungeändert bleiben. Dabei setzt sich — in der 
Ebene wie im Raume — die Hauptgruppe zusammen aus den Be- 
wegungen, Spiegelungen und Ähnlichkeitstransformationen (Änderungen 
des Maßstabes). 
Dafür kann man auch sagen, daß die Hauptgruppe aus denjenigen 
Kollineationen der Ebene resp. des Raumes besteht, bei denen die 
Orthogonalität erhalten bleibt, oder auch, die das Paar der ,, Kreis- 
punkte“ resp. den ,, Kugelkreis“ in sich überführen. 
Innerhalb dieses umfassenden Prinzips lassen sich aber noch 
andere Prinzipien auf stellen, die dazu dienen, ganze Klassen von 
Einzelsätzen unter einheitlichem Gesichtspunkte zusammenzufassen. 
Gerade in solchen Zusammenfassungen scheint mir zu einem 
guten Teile der bildende Wert der Mathematik zu liegen. Als ein 
derartiges Ordnungsprinzip läßt sich das als das ,, biologische“ zu 
bezeichnende ansehen, das dahin formuliert werde: 
A) „Eigenschaften, die einer Figur nicht sowohl an sich 
zukommen, sondern vielmehr, insofern sie Teil einer 
umfassenderen Figur ist, sind demgemäß zu beweisen 
und zu klassifizieren.“ 
Das Beiwort „biologisch“ soll eben besagen, daß die fragliche 
Figur als einzelnes Organ eines größeren Organismus gedeutet wird, 
sodaß die Eigenart des Organs nur aus dem Gesamtverhalten des 
ganzen Organismus heraus zu verstehen ist. 
Als elementares Anwendungsobjekt soll im folgenden das Dreieck 1 ) 
(resp. Dreiseit) dienen. Eine ansehnliche Reihe von Sätzen der neueren 
b Wegen der Einzelheiten sei verwiesen auf die Abhandlung von G. Berkhan 
„Zur projektiven Behandlung der Dreiecksgeometrie“, Dissert. Königsberg i. Pr. 1905, 
abgedruckt im Archiv Math. Phys. (3) 11 (1906), pg. 1—31. 
