Über Dreiecksgeometrie. 
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Wendet man dies auf die Höhen hi (i = 1, 2, 3) des Dreiecks 
an, so folgt, daß die Winkel des von den Höhenfußpunkten Hi ge- 
gebildeten Dreiecks von den bezüglichen Höhen halbiert werden 1 ). 
Aber der Begriff des Harmonischen in seiner Anwendung auf 
das Viereck führt zu weiteren Sätzen. Seien 1 , 2, 3, 4 die Ecken des 
Vierecks, so gehen durch sie drei Seitenpaare, z. B. (12), (3 4). 
Konstruiert man zu einem beliebigen Punkte P die Polaren in bezug 
auf diese drei Geradenpaare, so ergibt sich elementarplanimetrisch 
leicht, daß sich die drei Polaren in einem Punkte P' treffen, und daß 
die Beziehung zwischen zwei solchen ,, Gegenpunkten P, P' in bezug 
auf das Viereck“ eine gegenseitige (oder, wie man sagt, involu- 
torische) ist. 
In der Theorie der Kegelschnitte wird gezeigt, daß P, P‘ in 
bezug auf alle (Ordnungs-) Kegelschnitte des Büschels mit den Grund- 
punkten 1 , 2, 3, 4 ,, konjugiert“ sind, so daß stets P' auf der Polare 
von P liegt, und umgekehrt. 
Sind, zunächst etwa in kartesischen (rechtwinkligen) Koordinaten 
Xi =0, X2 = 0, X3 — 0 die Gleichungen der drei Seiten des Haupt- 
dreiecks, und bezeichnet man kurz mit X \ resp. X\ das Resultat der Ein- 
setzung der Koordinaten von P resp. P' in die Ausdrücke so 
lehrt eine einfache Rechnung, daß die Beziehung (Verwandtschaft) 
zwischen P, P' dargestellt ist durch die fortlaufende Proportion: 
(1) Xi X'i : X% X '2 : Xz X'z — ki : ki : /cs, 
wo die k drei Konstante bedeuten. 
Man bezeichnet diese quadratische Verwandtschaft von Gegen- 
punkten P, P' als ,,die dem Viereck (1,2,3, 4) zugehörige“; P' heißt 
auch ,,Bild“ von P, und umgekehrt. Aus ( 1 ) geht hervor, daß wenn 
ein Punkt P eine Gerade g beschreibt, dessen Bild P’ einen dem 
Hauptdreiecke des Vierecks umbeschriebenen Kegelschnitt c ', das 
Bild von < 7 , durchläuft, und umgekehrt Von diesem Kegelschnitte 
Cg lassen sich aber sofort sechs weitere Punkte angeben. Denn ist 
z. B. P 12 der Schnittpunkt von g mit der Seite (12), so ist ersichtlich 
der bezüglich des Punktepaares ( 12 ) zu P 12 vierte harmonische Punkt 
P '12 das Bild von Pi?. Damit ergibt sich der grundlegende Satz: 
C) „Schneidet man die sechs Seiten eines ebenen Vierecks 
mit einer Geraden g , und konstruiert auf jeder Seite 
den zum Schnittpunkte vierten harmonischen Punkt, 
b Hieraus folgt sofort, daß die Innenwinkel des Dreiecks (Hj H 2 H 3 ) die 
Supplemente zu den doppelten Dreieckswinkeln 2 sind. 
