Über Dreiecksgeometrie. 
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die Koordinaten zweier Gegenpunkte P(x), P' (x') des Dreiecks, so ver- 
einfacht sich die Proportion (1) zn: 
Man hat daher die einfache Regel: 
D) „Irgend zwei Gegenpnnkte des Koordinatendreiecks /\ 
besitzen reziproke Dreieckskoordinaten, und umgekehrt.“ 
Man entnehme ferner den Elementen der Theorie der Dreiecks- 
koordinaten die Gleichung der unendlich fernen Geraden : 
(3) g^ = s x = S t X, + s 2 x 2 + «3 *3 = 0, 
sowie die Gleichung des Umkreises U 2 * * ) von /\: 
(4) U=S 1 X 2 X 3 + $2 X 1 X 3 + S 3 X 1 X 2 = 0. 
Gemäß (2), (3), (4) gilt daher der Satz: 
E t ) „Der Umkreis TJ eines Dreiecks/^ ist das Bild der in 
der Verwandtschaft der Gegenpunkte des Dreiecks.“ 
Man verbinde diesen Satz mit dem obigen Satze C^, und wähle 
gemäß BJ, B 2 ) als Hauptdreieck einmal das Urdreieck das andere 
Mal das Dreieck der Höhenfußpunkte so folgen die Sätze: 
E 2 ) „Der Umkreis U eines Dreiecks A geht durch die Mitten 
der sechs, durch die vier Einheitspunkte gebildeten 
Strecken;“ 
E 3 ) ,,Der durch die Höhenpunkte H • eines Dreiecks ^ gelegte 
Kreis N passiert auch die Mitten T \ der Dreiecksseiten, 
sowie die Mitten der drei Strecken A^H. U 
Dieser letztere Kreis N wird gewöhnlich schlechtweg der „Neun- 
punktekreis“ des Dreiecks genannt; es ist aber zu beachten, im 
Hinblick auf das Prinzip B 2 ), daß hierbei das Dreieck /\ durchaus 
gleichberechtigt ist mit den drei weiteren Dreiecken A x A 2 H , A t A 3 H ) 
1 ) Da die Winkelhalbierenden des Koordinatendreiecks durch die Gleichungen 
•Ti ± 0*2 = 0, usf. dargestellt werden, so folgt aus (2) sofort die Konstruktion des zu 
einem Punkte P gehörigen Gegenpunktes p\ Man ziehe die Transversalen Ai P und 
spiegele dieselben an den bezüglichen inneren Winkelhalbierenden, so treffen sich die 
drei Spiegelgeraden im Punkte P\ Wendet man diese Konstruktion z. B. auf irgend 
einen Punkt P des Umkreises U von an, so folgt aus dem Text sofort, daß die drei 
Spiegelgeraden parallel sind. 
2 ) Die Gleichung (4) sagt geometrsich unmittelbar den bekannten Satz aus: „Der 
Umkreis eines Dreiecks ist der Ort eines Punktes P, für den die Fußpunkte der von P 
auf die Seiten des Dreiecks gefällten Lote auf einer Geraden liegen“. 
( 2 ) 
oder auch, unter Benützung eines Proportionalitätsfaktors q: 
(2') 
e x i x 'i = i (* = i, 2, 3) 1 ). 
