Über Dreiecksgeometrie. 
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dar, die selbst mit P, Q bezeichnet seien. Die vier Kreise 1 ) A T , 27, P, Q 
gehören daher demselben Büschel an, mithin liegen ihre Mittelpunkte 
auf einer und derselben Geraden; da ferner (N, TJ) und (P, Q) wegen 
(7’), (9) zwei harmonische Kreispaare sind, bilden auch die Mittel- 
punkte beider Paare zwei harmonische Punktepaare. Kun ist der 
Mittelpunkt eines Kegelschnitts der Pol von g ^ (3); auf Grund der 
bekannten Beziehung zwischen Pol und Polare berechnet man einfach, 
daß der Mittelpunkt Mu von U die Koordinaten a besitzt, der Mittel- 
punkt Mq = T von Q die Koordinaten — oder auch Sk si, der Mittelpunkt 
s i 
Mp = H von P die Koordinaten — oder auch c ^ c ^ endlich der Mittel- 
c i 
punkt Mn von N die Koordinaten -j- Ci = cos (a^ — a^). Da aber 
c ^= — c^cii so erkennt man in der Tat die Existenz der beiden 
harmonischen Punktepaare (Mn, Mu) und {Mp = H. Mq = T). Der 
numerische Wert des Teilungs Verhältnisses berechnet sich hinterher, 
wie oben angegeben, zu 3:1. 
Der Kreis P (8) hat ebenfalls eine einfache geometrische Bedeutung. 
Da in der Form P nur die Quadrate der x auftreten, so ist das Drei- 
eck /\ ein Poldreieck des Kreises P; man nennt daher P den „Polar- 
kreis“ des Dreiecks. Aus den Darstellungen (8), (9) für die Formen 
U und Q entnimmt man noch die Identität: 
(10) Q-\- 3 TJ=x l 2 s 1 c 1 -f- . . . + x x x 2 s 3 + . . EE 8 X C x , 
wo c x , analog zu s x (3), die Linearform c t x x + e 2 x 2 ~f~ c z x 3 bedeutet. 
Die Identität (10) lehrt, daß sich in unserem Kreisbüschel auch 
das Geradenpaar c x — o, s x = 0 befindet; mit Bücksicht auf (3) ist 
daher die Gerade c x = 0, oder kurz g c , die gemeinsame Sehne des 
Kreisbüschels. Die nähere Betrachtung zeigt, daß diese Sehne eine 
ideale oder aber eine eigentliche ist — d. h. daß die beiden Grund- 
punkte des Büschels konjugiert imaginär oder aber reell sind — , je 
nachdem das Dreieck keinen oder aber einen stumpfen Winkel 
enthält. 
Diese Büschelsehne g c (c x = o ) ist leicht zu konstruieren. Be- 
zeichnet man mit ha die Verbindungsgerade der Höhenfußpunkte 
Hi, Hk , so ergibt sich als Gleichung von ha'. 
(ll) hfa — x i G i~ j- x-fc Cfc x i G i 0 (i, k, l 1, 2, 3). 
1) Bezeichnet man die Radien der vier Kreise U, N, P, Q resp. mit R, R N , Rp, R 
R 
Qi 
so berechnet man zunächst: R N ~ — ; ferner bestimmen sich R p und Rq durch: 
R P 2 = — 4 R 2 c x c 2 c 8 , 9 Rq 2 = 4 R 2 (1 c, c 2 c 3 ). Somit besteht zwischen _R, R p , Rq 
die merkwürdige Relation: R p 2 -f- (3 Rq) 2 — (2 R) 2 , d. h R p und Rq sind die Katheten 
eines rechtwinkligen Dreiecks mit der Hypotenuse 2 R. 
