Über Dreiecksgeometrie. 
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eines in bezug auf /\^ assoziierten Vierseits über, und 
umgekehrt.“ 
Man darf daher ein solches Viereck und Vierseit selbst als „Gegen- 
gebilde“ bezeichnen. Nun war man oben auf Grund einer einfachen 
quadratischen Konstruktion, d. h. mittels Zirkel 1 ) und Lineal, von einem 
Punkte (d) zu seinem Gegenpunkte Q-) gelangt. Der Übergang von 
einem Punkte Q-) zu seiner Gegengeraden (d) läßt sich daher auch in 
zwei Schritte zerlegen: zuerst sucht man den Gegenpunkt (d) von 
Q-), sodann zum Punkte (d) die Gerade (d). 
Die Zuordnung zwischen einem Punkte (d) und der Geraden (d) 
ist eine lineare reziproke Verwandtschaft. Man kann sie einmal so 
auffassen, daß die Gerade (d) die Polare des Punktes (d) ist in bezug 
auf den (nullteiligen) Kegelschnitt: 
( 12 a) a?i 2 -f- # 2 2 ~f x s 2 = 0 , 
oder auch dualistisch: 
(12b) -(- u 2 2 -f- u 3 = 0. 
Dieser Kegelschnitt heißt daher der „Dualitätsträger“ in bezug 
auf das Dreieck 
Ohne Benützung desselben läßt sich die in Rede stehende lineare 
reziproke Verwandtschaft als diejenige definieren, bei der jeder Ecke 
von ^ deren Gegenseite entspricht, und dem Einheitspunkte E( 1, 1, 1) 
die Einheitsgerade e (1,1,1). Dann entsprechen von selbst den drei 
weiteren Einheitspunkten Ei, E 2 , Ez resp. die drei weiteren Einheits- 
geraden e t , e 2 , e 3 , wo z. B. e 1 die Koordinaten — 1, 1, 1 besitzt. Die 
Einheitsgeraden e, e t , e 2 , e 3 sind zugleich mit den Winkelhalbierenden 
des Dreiecks festgelegt. Bezeichnet man mit m ^ die innnere, mit 
m ,• die äußere Halbierende des Dreieckswinkels a,-, deren Spuren auf 
der Gegenseite mit AT-, so verbindet e die drei Punkte M' i, M 2 , -M'b, 
während z. B. e x die drei Punkte M 'i, il/ 2 , Ms verbindet. 
Nach bekannter Vorschrift 2 ) läßt sich, wenn die m\ als ein für 
allemal gegeben angesehen werden, zu jedem Punkte (d) die Gerade ( d ), 
und umgekehrt, linear konstruieren. 
b Des Zirkels bedarf man nur zur Aufsuchung der Winkelhalbierenden. Die 
l. c. (pg. 243) angegebene Spiegelung (Winkelabtragung) läßt sich bekanntlich mittels 
einer linearen Konstruktion ausführen. 
2 ) Man kann z. B. so verfahren: Ist D x die Spur der Geraden ( d ) auf der 
Dreiecksseite A 2 A ? , so suche man zuerst den zu Di bez. (A 2 , ^ 3 ) vierten harmonischen 
Punkt D\, und zu diesem wiederum den bez. (M v M\) vierten harmonischen Punkt D’\. 
Die drei Transversalen A i D " i treffen sich im Punkte (d). 
