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Fr. Meyer. 
Diese Gleichung drückt den klassischen Satz von Chasles aus: 
„Legt man von den beiden Kreispunkten K X1 K 2 an einen Kegel- 
schnitt C die beiden Tangentenpaare, so bilden diese ein Vierseit, 
von dem das reelle Paar von Gegenecken in die beiden reellen Brenn- 
punkte P n F 2 von C fällt, während das dritte Paar von Gegenecken 
die beiden imaginären Brennpunkte (auf der Nebenachse) von C 
liefert“. 
Umgekehrt kann in (20) P X ,P 2 ein beliebiges reelles Punktepaar 
der Ebene sein. 
Rückt im Besondern der eine der beiden Punkte F 1 , F 2l etwa 
der letztere, in bestimmter Richtung ins Unendliche, so stellt (20) die 
Schar konfokaler Parabeln mit dem festen Brennpunkte F t und der 
festen Achse (F x F 2 ) dar. 
Man übertrage jetzt die Darstellung (20) auf Dreieckskoordinaten. 
Die Klassengleichung des Kreispunktepaares K x , K 2 ist dann bekanntlich : 
(18') K=K X . K 2 = u 2 -}- u 2 2 -f- u B 2 — 2 u x u 2 c B — 2 u t u s c 2 — 2u 2 u 2 c t = 0. 
Sind daher P (#), P' (x) die beiden (reellen) Brennpunkte eines 
Kegelschnitts, so wird dessen Klassengleichung von der Gestalt: 
(20') u x u x — |WK= 0, 
und umgekehrt. 
Verlangt man nunmehr, daß der Kegelschnitt (20') dem Koordi- 
natendreiecke einbeschrieben sei, so müssen in (20') die Quadrate 
der u herausfallen, was nur so möglich ist, daß die Bedingungen: 
(21) x t x x ' — x 2 x 2 = x B x s ' = f-i 
erfüllt sind, und umgekehrt. 
Gemäß (2) sagen aber die Bedingungen (21) aus, daß die beiden 
Punkte F (x) ) P'(x ) Gegenpunkte des Dreiecks /\^ sind. Somit gilt 
der grundlegende Satz 1 ): 
H) „Jedes Paar von Gegenpunkten P, P' eines Dreiecks 
bildet die Brennpunkte eines dem Dreieck einbeschrie- 
benen Kegelschnitts, und umgekehrt.“ 
Wendet man diesen Satz zunächst auf den Umkreis U eines 
Dreiecks an, so erkennt man den inneren Grund für eine bekannte 
wichtige Eigenschaft von U. 
Jeder Punkt P von U war gemäß (3), (4) der Gegenpunkt eines 
bestimmten unendlich fernen Punktes P'^ , und umgekehrt, d. i. der 
1 ) Sind die beiden Gegenpunkte (konjugiert) imaginär, so auch die Brennpunkte, 
und umgekehrt. 
