Über Dreiecksgeometrie. 253 
Satz: „Der Umkreis TJ eines Dreiecks erscheint als Ort des Brenn- 
punktes aller dem Dreieck einbeschriebenen Parabeln.“ 
Die Achse der jeweiligen Parabel mit dem Brennpunkte P be- 
stimmt sich durch die in der Note zu pg. 243 angegebene Spiegelungs- 
konstruktion : Man verbinde P mit irgend einer Ecke von und 
spiegele diese Transversale an der bezüglichen Winkelhalbierenden, so 
ist die durch P zu der Spiegelgeraden gelegte Parallele die Achse 1 ) 
der Parabel. 
Geht man umgekehrt von einer beliebigen Parabel aus, so spricht 
sich das Ergebnis in einem anderweit bekannten Satze aus: „Der 
Umkreis irgend eines von drei Tangenten einer Parabel gebildeten 
Dreiseits geht stets durch den Brennpunkt der Parabel.“ Weitere 
Anwendungen des Satzes H) erhält man, wenn man als Gegenpunkte 
entweder den Höhenpunkt H und den Mittelpunkt Mjj (e) des 
Umkreises wählt, oder aber den Schwerpunkt T und den Punkt 
S ( s ), der Mittelpunkt einer ganzen Reihe 1 ) ausgezeichneter Kegel- 
schnitte ist. 
Das interessanteste Beispiel von Gegenpunkten wird indessen 
durch die beiden ,,Brocard sehen Punkte“ B u P 2 geliefert, auf die näher 
eingegangen werde. Irgend einer derselben, z. B. 2? 1? ist als ein Punkt 
im Innern von dadurch definiert, daß die drei Winkel, die resp. 
A i B i mit A, A 2 , A 2 B x mit A 2 A 3 , A 3 B 1 mit A 3 A x bildet, einander 
gleich sind. 
Dieser Winkel co heißt der „Brocardsche Winkel“. Der zweite 
Punkt B 2 entsteht entsprechend, wenn der Winkel co (im Innern 
von /\) jeweils an der andern Dreiecksseite abgetragen wird, oder, 
was auf dasselbe hinauskommt, wenn jede der drei Transversalen 
A^ B 1 an der bezüglichen Winkelhalbierenden gespiegelt wird. 
Dadurch erweisen sich die beiden Brocardschen Punkte B u B 2 
als Gegenpunkte von sind also auf Grund des Satzes H) die 
Brennpunkte eines dem Dreiecke einbeschriebenen Kegelschnittes 
B, den man ohne Weiteres als Ellipse erkennt. Das ist die ,,Brocard- 
sche Ellipse“. 
b Diese Parabelachsen umhüllen bekanntlich eine Steinersche Hypozykloide. 
b Der Punkt S ( s ) ist u. a. Mittelpunkt folgender vier Kegelschnitte: a) des 
Dualitätsträgers (12); b) des Umkegelschnittes x x x 2 c 3 -f- ^ 2 x s c i + d. i. des 
Bildes der Kreisbüschelsehne (s. pg. 245) c x — o in der Verwandtschaft (21; c) des dem 
Büschel der beiden ersten Kegelschnitte a), b) an gehörigen, der die Seiten des Dreiecks /\ 
in den Spuren von den Minimalgeraden der Gegenecken trifft; d) der Ellipse, resp. (bei 
stumpfwinkligem Dreiecke /\) der Hyperbel, die die Seiten des Dreiecks in den Höhen- 
fußpunkten H i berührt. 
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