Über Dreiecksgeometrie. 
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der Gegenseite laufen, sich im Punkte S ( s ) treffen, durch den sie 
umgekehrt bestimmt sind 1 ). Dieselbe Tatsache drückt sich in der 
Ordnungsgleichung von B aus, der sich die elegante Gestalt geben läßt: 
(28') B=\/* + j/^ + j/^ = 0. 
r Si * s 2 r s B 
Aus (28) oder (28') berechnet man mit Hilfe von (26), daß der 
Mittelpunkt Mß der Brocardschen Ellipse die Koordinaten t -■)- 
(i = 1, 2, 3) besitzt. Somit liegt Mß auf der Geraden, die den Punkt 
S (s) mit dem Mittelpunkte Mß ( c ) des Umkreises verbindet: die 
Koordinaten dieser Geraden sind sin (a 2 — a 3 ), sin (a 3 — e^), sin (a x — a 2 ). 
Der zu Mß und dem Paare (S, Mß) vierte harmonische Punkt 
ist der Punkt (s 3 ) (26); er wird ausgeschnitten durch die Gerade mit 
den Koordinaten cos (a 2 - a 3 ) cos (a s — a ± ) cos (c^ — a 2 ), die übereinstimmt 
mit der zum Mittelpunkte M^ des Neunpunktekreises N in bezug 
auf ^ reziproken Geraden. Über die Beziehung der Brocardschen 
Ellipse zum Schwerpunkte T s. oben bei (15). Nunmehr mögen auch 
noch die beiden (konjugiert) imaginären Lösungen der in t = cotg co 
kubischen Gleichung (24) in Betracht gezogen werden, d. s. die 
Wurzeln von: 
(25') z 2 •+ 1 = 0. 
Diese entsprechen den beiden ,, Kreispunkten“ K X ,K 2 (18), was 
selbstverständlich ist; denn der Winkel, den irgend eine der beiden 
„Minimalgeraden“, die irgend eine Ecke von [\ mit K u K 2 verbinden, 
bildet mit jeder (reellen) Transversalen durch die Ecke einen will- 
kürlichen Winkel, der also insonderheit dem Brocardschen Winkel co 
gleichgesetzt werden darf. 
Diese zuvörderst rein theoretische Ergänzung findet indessen 
sofort ihre Realisierung. 
Vermöge der oben (pg. 253) für einen beliebig gewählten Winkel co 
angegebenen Konstruktion werden die drei Strahlbüschel der Ecken 
A{ von ^ zu je zweien projektiv aufeinander bezogen, erzeugen also 
im Ganzen drei Kegelschnitte, deren gemeinsamer Schnittpunkt eben 
der Brocardsche Punkt resp. B 2 ist. Aber diese drei Kegel- 
schnitte sind mit Rücksicht auf (25") Kreise, von denen sich leicht 
noch weitere Punkte angeben lassen. 
Zum Schlüsse weisen wir noch kurz auf einige andere Anwen- 
dungen des biologischen Prinzipes A) hin, die durch Kombinierung 
1) Der Punkt S (s) erscheint also als „Brianchonscher Punkt“ der Ellipse, 
s. oben pg. 248. 
