{ 91 ) 
is eene vlakke kroni.me lijn, zal ook de corresponderende 
straal op de ellipsoide een boog eener vlakke kromme lijn 
vvezen. Hij zou derhalve niet wezen, hetgeen hij behuort 
te wezen, dat is geene kortste lijn. Want alleenlijk de twee 
uinbilicale voerstralen der toj)pen van de groote as eener 
kromteliin zijn bogen van eene ellips, bogen van eene 
vlakke kromme lijn; alle de overige zijn bogen van niet 
vlakke kromme lijnen Overigens zou het ook door bere- 
kening kunnen blijken, dat de corresponderende lijn van 
een focalen voerstraal niet is een eigenlijke umbilicale voer- 
straal. Want, uit de vergelijking van eene der projectien 
van een focalen voerstraal, heeft men onmiddellijk de ver- 
gelijking der corresponderende projectie van den correspon- 
derenden straal op de ^ellipsoide. Ware deze een eigenlijke 
umbilicale voerstraal, eene geodetische lijn op de ellipsoide, 
dan zou de laatstgenoemde vergelijking, in verband met de 
vergelijking der ellipsoide, moeten voldoen aan de bekende 
algemeene eerste differentiaal-vergelijking der geodecische 
lijnen op de ellipsoide; maar aan deze voldoet zij geenszins. 
Uit het confocaal zijn van spherische ellipsen kunnen 
nog andere eigenschappen van de focale voerstralen wor- 
den afgcleid, die ook, op overeeiikomstige vvijze, voor de 
umbilicale voerstralen der kromtelijnen op de ellipsoide gel- 
deu. Op eene enkele zoodanige zal hier nog, tot besluit 
dezer beschouwingen, de aandacht gevestigd worden. 
De vier brandpunten der confocale spherische ellipsen, 
die de doorsnijdingen zijn van den bol (13) met de beide 
groepeu vaii asymptotische kegelvlakken (11), (1’2), zijn 
op den omtrek van den grooten cirkel, volgens welken de 
bol wordt gesneden door het coördinaten-vlak xz. De assen 
X en z deelen dezen cirkelomtrek in vier quadranten; op 
elk quadrant is een dier brandpunten. Laten drie dezer 
punten aangeduid en onderscheiden worden door de letters 
F', F, F", en wel iu deze orde: F' zij het brandpunt, ge- 
